prova1

Prévia do material em texto

MA72A (turma S01) - Cálculo Diferencial e Integral II - 1o. sem. 2014
Professor Rodolfo Begiato - begiato@utfpr.edu.br - http://paginapessoal.utfpr.edu.br/begiato
1a. PROVA
NOME: DATA:
1. (1,5 ponto) Encontre a área da região dada por:
S = {(x, y) ∈ R2|x ≥ 1, 0 ≤ y ≤ e−x}.
2. (2 pontos) Considere
F (t) =
(√
t− 1
t− 1
, t2,
t− 1
t
)
.
(a) Determine F (3).
(b) Determine o domínio de F .
(c) Determine lim
t→1
F (t).
(d) Determine F ′(2).
3. (5 pontos) Considere f(x, y) = 1− x2 − y2:
(a) Determine f(2, 3).
(b) Determine o domínio de f .
(c) Determine a imagem de f .
(d) Desenhe as curvas de nível de f (ao menos três curvas distintas).
(e) Determine as derivadas parciais de 1a. ordem de f .
(f) O que podemos dizer sobre a diferenciabilidade de f?
(g) Determine
∂3f
∂x2∂y
.
4. (1,5 ponto) Considere f é uma função diferenciável. Se z = f(x, y), x = r cos θ e y = rsenθ:
(a) Encontre
∂z
∂r
e
∂z
∂θ
(b) Mostre que
(
∂z
∂x
)2
+
(
∂z
∂y
)2
=
(
∂z
∂r
)2
+
1
r2
(
∂z
∂θ
)2