encontre as dimensões máximas e o volume máximo de um paralelepípedo inscrito no elipsoide: g(x,y,z) : x²/9+y²/4+z²/1=1

Para encontrar as dimensões máximas e o volume máximo de um paralelepípedo inscrito no elipsoide dado por \( g(x,y,z) : \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} + z^2 = 1 \), podemos usar o método de Lagrange. 1. Defina as variáveis: Seja \( x = 3a \), \( y = 2b \), \( z = c \), onde \( a, b, c \) são as dimensões do paralelepípedo. O volume \( V \) do paralelepípedo é dado por: \[ V = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot a \cdot b \cdot c = 12abc \] 2. Condição do elipsoide: A condição do elipsoide se torna: \[ \frac{(3a)^2}{9} + \frac{(2b)^2}{4} + c^2 = 1 \implies a^2 + b^2 + c^2 = 1 \] 3. Usando Lagrange: Queremos maximizar \( V = 12abc \) sujeito à restrição \( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \). 4. Formule a função Lagrangiana: \[ \mathcal{L}(a, b, c, \lambda) = 12abc + \lambda(1 - a^2 - b^2 - c^2) \] 5. Derive e iguale a zero: \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial a} = 12bc - 2\lambda a = 0 \] \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial b} = 12ac - 2\lambda b = 0 \] \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c} = 12ab - 2\lambda c = 0 \] \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 1 - a^2 - b^2 - c^2 = 0 \] 6. Resolvendo o sistema: A partir das equações, podemos deduzir que \( a = b = c \). Substituindo na restrição: \[ 3a^2 = 1 \implies a^2 = \frac{1}{3} \implies a = \frac{1}{\sqrt{3}} \] 7. Dimensões do paralelepípedo: \[ x = 3a = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}, \quad y = 2b = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}, \quad z = c = \frac{1}{\sqrt{3}} \] 8. Volume máximo: \[ V = 12abc = 12 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 12 \cdot \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \] Portanto, as dimensões máximas do paralelepípedo são \( \sqrt{3} \), \( \frac{2}{\sqrt{3}} \) e \( \frac{1}{\sqrt{3}} \), e o volume máximo é \( \frac{4\sqrt{3}}{3} \).