Questão 1 Se os conjuntos ????, ???? ⊂ ℝ são conjuntos abertos, então o conjunto ???? = ???? ∩ ???? (interseção dos conjuntos ???? e ????) pode ser classificado ...
Questão 1
Se os conjuntos ????, ???? ⊂ ℝ são conjuntos abertos, então o conjunto ???? = ???? ∩ ???? (interseção dos conjuntos ???? e ????) pode ser classificado como um conjunto aberto? Justifique sua resposta.
Gabarito:
Seja ???? ∈ ???? = ???? ∩ ????, assim ???? ∈ ???? e ???? ∈ ????. Como os conjuntos ???? e ???? são abertos, por hipótese, então existem ????1, ????2 > 0 tais que
???? ∈ (???? − ????1, ???? + ????2) ⊂ ????
???? ∈ (???? − ????2, ???? + ????2) ⊂ ????
Considere agora ???? = min{????1, ????2} > 0, ou seja, tome ???? como o menor valor entre ????1 e ????2. Note que
???? ≤ ????1 (−???? ≥ −????1) e ???? ≤ ????2 (−???? ≥ −????2). Desta forma, teremos
(???? − ????, ???? + ????) ⊂ (???? − ????1, ???? + ????1) ∩ (???? − ????2, ???? + ????2) ⊂ ???? ∩ ???? = ????
Logo, como ???? é um ponto interior a ????, para qualquer ???? ∈ ????, podemos concluir que ???? = ???? ∩ ???? é um conjunto aberto.
Se os conjuntos ????, ???? ⊂ ℝ são conjuntos abertos, então o conjunto ???? = ???? ∩ ???? (interseção dos conjuntos ???? e ????) pode ser classificado como um conjunto aberto? Justifique sua resposta.
Gabarito:
Seja ???? ∈ ???? = ???? ∩ ????, assim ???? ∈ ???? e ???? ∈ ????. Como os conjuntos ???? e ???? são abertos, por hipótese, então existem ????1, ????2 > 0 tais que
???? ∈ (???? − ????1, ???? + ????2) ⊂ ????
???? ∈ (???? − ????2, ???? + ????2) ⊂ ????
Considere agora ???? = min{????1, ????2} > 0, ou seja, tome ???? como o menor valor entre ????1 e ????2. Note que
???? ≤ ????1 (−???? ≥ −????1) e ???? ≤ ????2 (−???? ≥ −????2). Desta forma, teremos
(???? − ????, ???? + ????) ⊂ (???? − ????1, ???? + ????1) ∩ (???? − ????2, ???? + ????2) ⊂ ???? ∩ ???? = ????
Logo, como ???? é um ponto interior a ????, para qualquer ???? ∈ ????, podemos concluir que ???? = ???? ∩ ???? é um conjunto aberto.
💡 1 Resposta
Ed 
O conjunto \( A = A \cap B \) é um conjunto aberto. Isso pode ser justificado pelo fato de que, se \( x \) pertence a \( A \), então \( x \) pertence a \( A \) e \( B \). Como os conjuntos \( A \) e \( B \) são abertos, para qualquer \( x \) em \( A \), podemos concluir que \( A = A \cap B \) é um conjunto aberto.
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