Questão 21 Propriedade 39. Todo conjunto A ⊂ N é enumerável. ê Demonstração. Se A é finito então A é enumerável. Se A é infinito podemos enumerar...

Questão 21
Propriedade 39. Todo conjunto A ⊂ N é enumerável.

ê Demonstração. Se A é finito então A é enumerável. Se A é infinito podemos enumerar seus elementos da seguinte maneira x1 = minA, xn+1 = minA \ n⋃k=1 {xk}, daí A = ∞⋃k=1 {xk} pois se existisse x ∈ A tal que x ≠ xk daí teríamos x > xk para todo k que é absurdo, pois nenhum conjunto infinito de números naturais é limitado superiormente. A função x definida é injetora e sobrejetora. Vamos mostrar agora que ela é a única bijeção crescente entre A e N. Suponha outra bijeção crescente f : N → A. Deve valer f(1) = x1, pois se fosse f(1) > x1 então f não seria crescente. Supondo que vale f(k) = xk ∀ k ≤ n ∈ N vamos mostrar que f(n + 1) = xn+1, não pode valer f(n + 1) < xn+1 com f(n + 1) ∈ A pois a função é injetora e os possíveis termos já foram usados em f(k) com k < n + 1, não pode valer f(n + 1) > xn+1 pois se não a função não seria crescente, ela teria que assumir para algum valor x > n+ 1 o valor de xn+1, a única possibilidade restante e

a) II and IV are correct.
b) II, III, and IV are correct.
c) I, III, and IV are correct.