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LISTA DE EXERCÍCIOS
Nos exercícios 1-5, considere o conjunto 𝐸 das matrizes 2 × 2 de coeficientes reais com as 
seguintes operações: dados α ∈ ℝ e 𝑢 =
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
, 𝑣 =
𝑏11 𝑏12
𝑏21 𝑏22
∈ 𝐸, então 𝑢 + 𝑣 =
𝑎11𝑏11 + 𝑎12𝑏21 𝑎11𝑏12 + 𝑎12𝑏22
𝑎21𝑏11 + 𝑎22𝑏21 𝑎21𝑏12 + 𝑎22𝑏22
e α𝑢 =
α𝑎11 α𝑎12
α𝑎21 α𝑎22
.
1. Mostre que E é fechado em relação a soma.
2. Mostre que E é fechado em relação a multiplicação por número real.
3. Mostre que o vetor nulo em 𝐸 é 0 = 1 0
0 1
, isto é, para todo 𝑢 ∈ 𝐸
0 + 𝑢 = 𝑢 + 0 = 𝑢.
4. Mostre que a soma em 𝐸 não é comutativa, isto é 𝑢 + 𝑣 ≠ 𝑣 + 𝑢 .
5. Justifique porquê, dado 𝑢 ∈ 𝐸, não necessariamente existe −𝑢 ∈ 𝐸 tal que 𝑢 + (−𝑢) = 0. 
Dica: pense o caso 𝑢 = 0 0
1 1
.
LISTA DE EXERCÍCIOS
Nos exercícios 6-8, dado 𝑛 ∈ ℕ, determine quais conjuntos são subespaços do espaço vetorial 
𝑀𝑛×𝑛 ℝ das matrizes 𝑛 × 𝑛 de coeficientes reais com operações naturais de soma de matrizes 
e produto por número real.
6. 𝐹 ⊂ 𝐸, o conjunto de todas as matrizes invertíveis.
7. 𝐺 ⊂ 𝐸, o conjunto de todas as matrizes antissimétricas. Lembrando que 𝐴 ∈ 𝐸 é 
antissimétrica se 𝐴𝑇 = −𝐴.
8. 𝐻 ⊂ 𝐸, o conjunto de todas as matrizes 𝐴 ∈ 𝐸 tal que para cada 𝐴 existe 𝐵 ∈ 𝐸 de modo que 
𝐴𝐵 = 𝐵𝐴.
Nos exercícios 9-10, considere o espaço vetorial 𝑀2×2 ℝ das matrizes 2 × 2 de coeficientes 
reais com operações naturais de soma de matrizes e produto por número real e determine se é 
possível escrever a matriz dada como uma combinação linear dos vetores 
𝑢1 =
1 2
−2 3
, 𝑢2 =
0 −1
1 1
.
9. 𝑣 = 4 10
−10 10
10. 𝑤 = 3 4
−4 4
GABARITO
1. Dica: Para afirmar que é fechado, basta ver que o resultado da operação é uma matriz 2×2 de 
coeficientes reais.
2. Dica: Para afirmar que é fechado, basta ver que o resultado da operação é uma matriz 2×2 de 
coeficientes reais.
3. Dica: O melhor é calcular em separado as expressões (0 + u) e (u + 0) para daí comparar os 
resultados com u.
4. Dica: O melhor é calcular em separado as expressões (v + u) e (u + v) para daí comparar os 
resultados.
5. 𝑢 ∈ 𝐸 tem inverso aditivo por essa operação de soma, se e somente se 𝑑𝑒𝑡 𝑢 ≠ 0, isto é, se 
𝑢 possui matriz inversa. Isso ocorre porque a soma apresentada corresponde a 
multiplicação matricial.
6. A matriz nula não pertence à F, logo não é subespaço. 
7. G é subespaço de E.
8. H é subespaço de E.
9. 𝑣 = 4𝑢1 − 2𝑢2
10. 𝑤 ∉ 𝑔𝑒𝑟 𝑢1, 𝑢2