Uma das aplicações do conceito de integração é o cálculo da área entre curvas. Este procedimento permite que sejam calculadas áreas que antes, com ...

Para determinar a área entre as curvas \(y = x^2\) e \(y = x\), precisamos encontrar os pontos de interseção entre essas duas curvas. Isso ocorre quando \(x^2 = x\), ou seja, nos pontos \(x = 0\) e \(x = 1\). A área entre as curvas pode ser calculada pela integral de \(y = x - x^2\) de 0 a 1. Calculando a integral, obtemos: \[\int_{0}^{1} (x - x^2) dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) - \left(0 - 0\right) = \frac{1}{6}\] Portanto, a opção III está correta. Logo, a resposta correta é: C) Somente a opção III está correta.