é S 5 {2}; caso tenhamos x é R, o conjunto solução é S 5 {2, 22}. E, ainda, se x é C, temos S 5 {2, 22, 2i, 22i }. Equação do 5º grau: x  1 9x  5 0 Considerando x é R, o conjunto solução dessa equação é S 5 {0}; caso tenhamos x é C, o conjunto solução é S 5 {0, 3i, 23i }. Equações polinomiais de uma variável Quando dois polinômios não idênticos A(x) e B(x) são comparados por uma relação de igualdade, a sentença matemática aberta obtida é chamada de equação algébrica ou equação polinomial. A(x) 5 B(x) Equações algébricas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução. O símbolo ^ pode ser usado para indicar que duas equações são equivalentes. A(x) 5 B(x) ^ A(x) 2 B(x) 5 0 Assim, considerando um polinômio P(x) idêntico à diferença entre os polinômios A(x) e B(x), pode-se dizer que obter os elementos do conjunto solução da equação A(x) 5 B(x) significa determinar as raízes do polinômio P(x), tal que P(x) 5 A(x) 2 B(x). Ou seja: A(x) 2 B(x) 5 0 ^ P(x) 5 0 Sendo assim, toda equação polinomial pode ser expressa por: 52 5 ∑ 0 0 a x p n p p n Ou ainda por: a 1 a 2  1 a 2 2 1 ... 1 an2 2x 2 1 an2 x 1 an 5 0 Atenção Nos casos em que P(x) é uma função constante, P(x) 5 0 é uma sentença matemática fechada e, portanto, verdadeira ou falsa independentemente do valor de x. P(x) ä k Se P(x) for o polinômio nulo (k 5 0), todo número complexo será solução da equação P(x) 5 0, e, se P(x) não for o polinômio nulo (k = 0), então nenhum número complexo será solução da equação. Para um melhor entendimento destes casos particulares, pode-se representar o polinômio P(x) como uma função do tipo ax 1 k em que a 5 0. P(x) 5 0 ? x 1 k Dessa forma, considerando a equação P(x) 5 0 no universo dos números complexos, seu conjunto solução terá apenas duas possibilidades. Se k 5 0, então: 0 ? x 1 0 5 0 ~ S 5 C. Se k = 0, então: 0 ? x 1 k 5 0 ~ S 5 0. Grau de uma equação polinomial O grau de uma equação algébrica representada na forma P(x) 5 0 coincide com o grau do polinômio P(x). Entre os principais conhecimentos associados às equações polinomiais estão as relações existentes entre o grau da equação e a quantidade de soluções que ela possui de acordo com o domínio de sua variável. Essas relações serão enunciadas ao longo do capítulo. Podemos dizer que nenhuma equação polinomial possui mais soluções do que o número que representa o seu grau, ou seja: Equações de grau zero não possuem soluções. Equações do 1º grau possuem no máximo uma solução cada. Equações do 2º grau possuem no máximo duas soluções cada. Equações do 3º grau possuem no máximo três soluções cada. Equações de grau n possuem no máximo n soluções cada. Soluções de uma equação polinomial A existência de soluções de uma equação do tipo P(x) 5 0 depende de algumas características do polinômio P(x) como o grau do polinômio, o domínio e a série dos coeficientes. Como visto acima, o número de soluções de uma equação polinomial está limitado pelo seu grau. Assim, sendo n o grau da equação e s o número de elementos do conjunto solução, tem-se, primeiramente, que s , n. O domínio da variável de uma equação depende, principalmente, do contexto de aplicação da função polinomial. O contexto pode ser combinatório, geométrico, temporal ou físico, entre outros. Veja o exemplo do polinômio A(x) 5 x  2 3x 2 1 2x, que fornece o número de arranjos com 3 elementos extraídos de um mesmo conjunto J com x elementos. Nesse caso, o domínio da função é o conjunto dos números naturais: x é N. s matemáticos italianos dos séculos XV e XVI. O método resolutivo das equações do º grau, desenvolvido por Lodovico Ferrari (século XVI), matemático italiano, consiste em utilizar uma variável auxiliar que pode ser obtida ao resolver uma equação do 101 F R E N T E 2 3º grau. A partir daí, a comunidade matemática da época passou a acreditar que seria possível resolver todas as equações polinomiais de grau n introduzindo variáveis auxiliares que poderiam ser encontradas resolvendo-se equações de grau (n 2 1), mas, infelizmente, provou-se que essa ideia estava errada. A teoria desenvolvida nos séculos XVIII e XIX pelos matemáticos Paolo Ruffini, Evariste Galois e Niels Abel mostrou que nem todas as equações de grau maior que 5 poderiam ser resolvidas por processos similares àqueles obtidos para as equações de grau inferior. O estudo para obter um método de resolução dessas equações continua até os dias de hoje. Entre esses estudos, vale ressaltar um trabalho publicado em 2019, de um matemático brasileiro chamado Rodrigo Martinelli, que apresenta uma técnica para resolver diversos tipos de equações do 5º grau e que também pode ser usado para se resolver qualquer equação do º grau. Fórmula resolutiva de uma equação do 1º grau As equações polinomiais do 1º grau podem ser expressas por: ax 1 b 5 0, a = 0 Como essa equação só admite uma solução complexa, sua fórmula resolutiva é dada por: 5 2x b a Veja os exemplos a seguir: I. 2x 1 8 5 0 Temos a 5 2 e b 5 8, então, a única solução da equação é 5 2 5 2 5 2 8 2 4x b a . Portanto, o conjunto solução dessa equação é S 5 {2}. II. 2 53 7 2 0x Temos a 5 3 e 5 2 7 2 b , então a única solução da equação é 5 2 5 2 2 5 7 2 3 7 6 x b a . Portanto, o conjunto solução dessa equação é 5 { }S 7 6 . III. 2x 1 (2 2 i ) 5 0 Temos a 5 21 e b 5 2 2 i, então a única solução é 5 2 5 2 2 2 5 2 2 1 2x b a i i . Portanto, o conjunto solução da equação é S 5 {2 2 i }. Fórmula resolutiva de uma equação do 2º grau As equações polinomiais do 2º grau podem ser expressas por: ax 2 1 bx 1 c 5 0, a = 0 Como essa equação pode admitir até duas soluções complexas, suas fórmulas resolutivas são: 5 2 2 D 5 2 1 D 2 e 2 1 2 x b a x b a Nessas fórmulas, o parâmetro dentro das raízes quadradas denomina-se discriminante e é dado por: D 5 b 2 2 ac O número de soluções da equação e o conjunto numérico à qual elas pertencem podem ser previstos pelo valor desse parâmetro, da seguinte maneira: Se D > 0, então, a equação possui duas soluções reais. Se D 5 0, então, a equação possui apenas uma solução real. Se D < 0, então, a equação possui duas soluções não reais conjugadas. Veja os exemplos a seguir: I. 4x  1 x 2  5  Temos a 5 , b 5 3 e c 5 –1. Então, o discriminante da equação é: D 5 b 2 2 ac 5 32 2  ?  ? (21) 5 9 1 1 5 25 E as soluções são: 5 2 2 D 5 2 2 5 2 2 2 5 7 2 3 7 6 x b a x b a . Portanto, o conjunto solução dessa equação é S 5 {7 6}.