Quanto ao gráfico da função f: R → R definida por f(x) = x^3 + x^2 – 6x, analise as opções: I. Possui dois pontos críticos. II. Tem máximo em x ...

Vamos analisar as opções: I. A função f(x) = x^3 + x^2 - 6x possui dois pontos críticos quando a derivada primeira se anula. Vamos derivar f(x) para encontrar os pontos críticos: f'(x) = 3x^2 + 2x - 6 Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero: 3x^2 + 2x - 6 = 0 Esta equação quadrática tem duas raízes reais, portanto, a opção I está correta. II. Para determinar se a função tem um máximo em x = 0, podemos analisar a concavidade da função. Vamos encontrar a segunda derivada de f(x): f''(x) = 6x + 2 Substituindo x = 0 em f''(x), obtemos f''(0) = 2, que é positivo. Portanto, a função tem um ponto de mínimo em x = 0, não um máximo. Logo, a opção II está incorreta. III. Para analisar a concavidade em x = -2, podemos novamente usar a segunda derivada. Substituindo x = -2 em f''(x): f''(-2) = 6*(-2) + 2 = -10 Como f''(-2) é negativo, a concavidade da função em x = -2 é voltada para baixo. Portanto, a opção III está correta. Assim, as análises corretas são: I. Possui dois pontos críticos. III. Em x = -2, a concavidade é voltada para baixo.