Quanto ao gráfico da função f: R → R definida por f(x) = x3 + x2 – 6x, analise as opções: I. Possui dois pontos críticos. II. Tem máximo em x = ...

Vamos analisar as opções: I. A função possui dois pontos críticos. Para encontrar os pontos críticos, derivamos a função f(x) = x³ + x² - 6x. f'(x) = 3x² + 2x - 6 Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos: 3x² + 2x - 6 = 0 Calculando, obtemos x = 1 e x = -2. Portanto, a opção I está correta. II. A função tem máximo em x = -2. Para determinar se há um máximo em x = -2, podemos usar a segunda derivada ou analisar o comportamento da função. Ao analisar, vemos que a função tem um ponto de máximo local em x = -2. Portanto, a opção II está correta. III. Em x = 1, a concavidade é voltada para cima. Para verificar a concavidade, podemos analisar o sinal da segunda derivada. Ao fazer isso, vemos que a concavidade é voltada para cima em x = 1. Portanto, a opção III está correta. IV. Existem dois pontos de inflexão. Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos analisar a mudança de concavidade. Ao fazer isso, percebemos que há apenas um ponto de inflexão. Portanto, a opção IV está incorreta. Assim, a alternativa correta é: B) Somente as opções I e III estão corretas.