Questão 10/10 - Geometria Analítica Qual é a equação geral do plano α que passa pelos pontos A(3, 3, 9), B(4, 1, 6) e C(2, -1, 3). Para obter o v...

Para encontrar a equação geral do plano \( \alpha \) que passa pelos pontos A(3, 3, 9), B(4, 1, 6) e C(2, -1, 3), primeiro precisamos encontrar o vetor normal ao plano \( \alpha \) usando os vetores \( \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} \) e \( \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AC} \). Calculando \( \overrightarrow{AB} \): \( \overrightarrow{AB} = (4-3, 1-3, 6-9) = (1, -2, -3) \) Calculando \( \overrightarrow{AC} \): \( \overrightarrow{AC} = (2-3, -1-3, 3-9) = (-1, -4, -6) \) Agora, calculando o vetor normal ao plano: \( \overrightarrow{n} = \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} \) \( \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & -2 & -3 \\ -1 & -4 & -6 \end{vmatrix} \) \( \overrightarrow{n} = (6, -3, -6) \) Assim, a equação geral do plano \( \alpha \) é: \( 6x - 3y - 6z + D = 0 \) Substituindo um dos pontos dados (por exemplo, A(3, 3, 9)) na equação, obtemos: \( 6(3) - 3(3) - 6(9) + D = 0 \) \( 18 - 9 - 54 + D = 0 \) \( D = 45 \) Portanto, a equação geral do plano \( \alpha \) que passa pelos pontos dados é: \( 6x - 3y - 6z + 45 = 0 \) A alternativa correta é: D) \( x + 3y - 4z + 11 = 0 \)