Solucionário de Álgebra Linear. Lista 7 – Combinação Linear, Dependência Linear, Base e Dimensão.
1) v não pode ser escrito como combinação linear de 1u, 2u, 3u, pois eles são linearmente dependentes.
2) 1 2 33 2 4p p p p= - + +.
3) 3 2E A B C= - -.
5) São linearmente dependentes.
6) São linearmente dependentes.
7) São linearmente independentes.
10) a) O vetor pertence ao subespaço S; b) O vetor não pertence ao subespaço S.
11) a) O vetor pertence ao subespaço W; b) O vetor não pertence ao subespaço W.
13) 1 0 ... 0 0 1 ... 0 0 0 ... 0 0 0 ... 0, ..., 0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 0 ... 1 nxn nxn nxn V = {matriz}, contendo ²n vetores. Logo dim( ) ²Vn n=.
14) As coordenadas do vetor x em relação à base β são: 1 3 1 3 1 3.
15) {1, ..., n}P x x x= . dim( ) 1nP n= +
17) 2 2 1 5 1 1, 4 2 1 5 xW = - . dim( ) 2W =.
19) a) O vetor pertence ao subespaço; b) Como os vetores que geram o subespaço e são LI, logo eles são base. dim 4=; c) Sim, pois qualquer vetor 4v∈ pode ser escrito como: 1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( )v y z w v w v z w v x y z w v= - = - + - + - + + - , , ,x y z w.
20) Sim, pois qualquer vetor ³v∈ pode ser escrito como: (2 )(1,1,0) ( )(0, 1,1) ( )(1,1,1)v x z y x y z y x= - - + - - + + - , ,x y z.
21) a) 2a b c= +; b) 1 2 3 1 2 5 3 1 x x x - = é uma base para W; c) A dimensão de W é exatamente o grau de liberdade do sistema, pois cada grau determina uma solução básica para o sistema.