97. Se f(x) = \frac{\cos(x)}{1 + \sin(x)}, qual é o valor de f'\left(\frac{\pi}{2}\right)? a) f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1 b) f'\left(\frac{\p...

Para encontrar o valor de \( f'\left(\frac{\pi}{2}\right) \) para a função \( f(x) = \frac{\cos(x)}{1 + \sin(x)} \), primeiro precisamos encontrar a derivada da função. Calculando a derivada da função \( f(x) \), temos: \( f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\cos(x)}{1 + \sin(x)} \right) \) Aplicando a regra do quociente, obtemos: \( f'(x) = \frac{(-\sin(x))(1 + \sin(x)) - \cos(x)(\cos(x))}{(1 + \sin(x))^2} \) Simplificando, temos: \( f'(x) = \frac{-\sin(x) - \sin^2(x) - \cos^2(x)}{(1 + \sin(x))^2} \) Sabendo que \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \), podemos simplificar ainda mais: \( f'(x) = \frac{-\sin(x) - 1}{(1 + \sin(x))^2} \) Agora, para encontrar \( f'\left(\frac{\pi}{2}\right) \), substituímos \( x = \frac{\pi}{2} \) na derivada: \( f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{-\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - 1}{\left(1 + \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)^2} \) Como \( \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \), temos: \( f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{-1 - 1}{(1 + 1)^2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \) Portanto, a alternativa correta é: b) \( f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{1}{2} \)