6 - Seja f(x) = x2. Determine a equação da reta que é tangente ao gráfico de f e paralela a reta y = 1/2x+ 3.

Para determinar a equação da reta tangente ao gráfico de \( f(x) = x^2 \) e paralela à reta \( y = \frac{1}{2}x + 3 \), precisamos primeiro encontrar a derivada de \( f(x) \), que é \( f'(x) = 2x \). Uma reta paralela a \( y = \frac{1}{2}x + 3 \) terá a mesma inclinação, então sua inclinação será \( m = \frac{1}{2} \). Para encontrar o ponto de tangência, igualamos as inclinações das duas retas e resolvemos para \( x \): \[ 2x = \frac{1}{2} \] \[ x = \frac{1}{4} \] Substituímos \( x = \frac{1}{4} \) na função \( f(x) \) para encontrar o ponto correspondente: \[ f\left(\frac{1}{4}\right) = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} \] Assim, o ponto de tangência é \( \left(\frac{1}{4}, \frac{1}{16}\right) \). A equação da reta tangente é dada por: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] \[ y - \frac{1}{16} = \frac{1}{2}\left(x - \frac{1}{4}\right) \] \[ y - \frac{1}{16} = \frac{1}{2}x - \frac{1}{8} \] \[ y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} \] Portanto, a equação da reta tangente é \( y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} \).