Algoritmo da Divisão). Dados f(x), d(x) ∈ K[x] com d(x) 6= 0. Então existem únicos q(x), r(x) ∈ K[x] tais que: f(x) = q(x)d(x) + r(x) com r(x) = ...

Algoritmo da Divisão). Dados f(x), d(x) ∈ K[x] com d(x) 6= 0. Então existem únicos q(x), r(x) ∈ K[x] tais que: f(x) = q(x)d(x) + r(x) com r(x) = 0 ou gr[r(x)] < gr[d(x)]. Prova. Sejam f(x) = a0+a1x+· · ·+anxn e d(x) = b0+b1x+· · ·+bmxm, sendom = gr[d(x)]. (Existência:) Se f(x) = 0 bastar tomar q(x) = r(x) = 0, donde temos que 0 = 0 · d(x) + 0. Se f(x) 6= 0 e sendo n = gr[f(x)], vamos analisar as possibili- dades entre m e n. 1. Se n < m, bastar tomar q(x) = 0 e r(x) = f(x), donde f(x) = 0 · d(x) + r(x). 2. Se n ≥ m, considere o polinômio: f1(x) = f(x)−an(bm)−1xn−md(x) =⇒ f(x) = f1(x)+an(bm)−1xn−md(x). Pelas a propriedades do grau de polinômios, é fácil ver que: gr[f1(x)] < gr[f(x)] ou f1(x) = 0. Agora, provaremos por indução sobre n = gr[f(x)]. Para n = 0 =⇒ m = 0, pois n ≥ m ≥ 0. Assim, bastar tomar q(x) = a0(b0) −1 e r(x) = 0, donde f(x) = a0(b0) −1·b0+0 = a0. Suponhamos que seja válido para todo k natural tal que 0 ≤ k < n, isto é, existem q1(x), r1(x) ∈ K[x] tais que f1(x) = q1(x)d(x)+r1(x) com r1(x) = 0 ou gr[r1(x)] < gr[d(x)] (H.I). Agora, mostraremos que é válido para n. Com efeito: da equação anterior, temos que: f(x) = f1(x)+an(bm) −1 xn−md(x) = [q1(x)+an(bm) −1 xn−m]d(x)+r1(x). Assim, bastar tomar: q(x) = q1(x) + an(bm) −1 xn−m e r(x) = r1(x). donde r(x) = 0 ou gr[r(x)] < gr[d(x)]. 143 (Unicidade:) Suponhamos que existam r1(x), r2(x), q1(x), q2(x) ∈ K[x] tais que: f(x) = q1(x)d(x) + r1(x) com r1(x) = 0 ou gr[r1(x)] < gr[d(x)] e f(x) = q2(x)d(x) + r2(x) com r2(x) = 0 ou gr[r2(x)] < gr[d(x)]. Das duas equações anteriores, obtemos a equação r2(x) − r1(x) = [q1(x) − q2(x)]d(x). (5.1.1) Supondo r2(x)−r1(x) 6= 0, temos que q1(x) 6= q2(x). Por hipótese, segue-se que gr[r2(x) − r1(x)] = max{gr[r1(x)], gr[r2(x)]} < gr[d(x)]. Por outro lado, da equação (5.1.1) temos que: gr[r2(x) − r1(x)] = gr[(q1(x) − q2(x))d(x)] ≥ gr[d(x)], o qual gera uma contradição. Assim r1(x) = r2(x), e daı́ segue- se que q1(x) = q2(x). Os polinômios r(x) e q(x) são chamados de “resto” e “quociente” , respectivamente. Quando r(x) = 0 , temos que d(x) divide f(x). Exemplo 5.1.3. Considere em R[x] os polinômios f(x) = 1 − x+ x2 e d(x) = x+ 3. Assim, pelo algoritmo da divisão, temos que: q(x) = x− 4 e r(x) = 13, pois x2 − x+ 1 = (x− 4)(x+ 3) + 13. Definição 5.1.9. Seja α ∈ K e p(x) = a0 + a1x + · · · + anxn ∈ K[x]. Dizemos que α é raiz ou zero de p(x) se p(α) = a0 + a1α + · · ·+ anαn = 0. Exemplo 5.1.4. Considere em R[x] o polinômio p(x) = 1 + x3, então −1 é raiz de p(x), pois p(−1) = 1 + (−1)3 = 1 − 1 = 0. 144 Exemplo 5.1.5. Considere em Z3[x] o polinômio p(x) = 1 + 2x2 então 1 e 2 são zeros de p(x), pois p(1) = 1 + 2 · 12 = 3 = 0 e p(2) = 1 + 2 · 22 = 9 = 0. Vamos provar um resultado que limita o número de raı́zes de um polinômios sobre um corpo K. Proposição 5.1.10. Sejam K um corpo e f(x) = a0+a1x+· · ·+anxn ∈ K[x] um polinômio não nulo de grau n. Então o número de raı́zes de f(x) em K é no máximo igual gr[f(x)] = n. Prova. Se f(x) não possui raı́zes em K, então segue-se o resul- tado. Se α é raiz de f(x), temos d(x) = x − α ∈ K[x]. Assim, pelo algoritmo da divisão, existem q(x), r(x) ∈ K[x] tais que f(x) = q(x)(x− α) + r(x) com r(x) = 0 ou gr[r(x)] < gr[d(x)] = 1. Logo r(x) = r0 constante. Assim 0 = f(α) = q(α)(α− α) + r0 =⇒ r0 = 0. Portanto f(x) = q(x)(x− α) donde gr[q(x)] = n− 1. Agora seja β uma raiz qualquer de f(x). Sendo K um corpo, temos f(β) = q(β)(β − α) = 0 ⇒ β = α ou q(β) = 0. Assim as raı́zes de f(x) são α e as raı́zes de q(x). Agora, provaremos por indução sobre n = gr[f(x)]. Para n = 0, temos f(x) é constante, portanto não existe raiz, logo como já vimos, segue-se o resultado. Suponhamos que seja válido para n − 1. Assim, q(x) possui no máximo n − 1 raı́zes em K, daı́ segue que f(x) possui máximo n raı́zes em K, como querı́amos demonstrar. Seja K um corpo. Se L ⊃ K é um corpo dizemos que L é uma extensão de K. O corpo C é extensão de R. 145 Observação 5.1.6. O polinômio p(x) = 1+x2 não possui raiz no corpo R, mas possui duas raı́zes no corpo C, a saber ±i. Corolário 5.1.1. Sejam K um corpo e f(x) = a0 + a1x + · · · + anxn ∈ K[x] um polinômio não nulo de grau n. Então f(x) em K possui no máximo n raı́zes em qualquer extensão L de K. Prova. Como K ⊂ L e f(x) ∈ K[x], então f(x) ∈ L[x]. Logo pela proposição anterior, segue-se o resultado.