Se \( n = 69 \), qual é o valor de \( \binom{n}{3} - \binom{n}{4} + \binom{n}{5} - \binom{n}{6} \)? Resposta: O valor é \( \binom{69}{3} - \binom{...

Para encontrar o valor de \( \binom{69}{3} - \binom{69}{4} + \binom{69}{5} - \binom{69}{6} \), podemos usar a propriedade \( \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} \). Assim, podemos reescrever a expressão como \( \binom{69}{66} - \binom{69}{65} + \binom{69}{64} - \binom{69}{63} \). Calculando cada um dos termos, obtemos: \( \binom{69}{66} = \binom{69}{3} = \frac{69!}{3!(69-3)!} = 23821 \) \( \binom{69}{65} = \binom{69}{4} = \frac{69!}{4!(69-4)!} = 52394 \) \( \binom{69}{64} = \binom{69}{5} = \frac{69!}{5!(69-5)!} = 101270 \) \( \binom{69}{63} = \binom{69}{6} = \frac{69!}{6!(69-6)!} = 171700 \) Substituindo na expressão, temos: \( 23821 - 52394 + 101270 - 171700 = - 96103 \) Portanto, o valor da expressão é -96103.