287. Problema: Se n é um número inteiro, qual é o resto quando n^3 é dividido por 56? Resposta: O resto é sempre 0, 1, 8, ou 27. Explicação: Isso ...

Para encontrar o resto quando \( n^3 \) é dividido por 56, podemos usar o Teorema de Euler. O teorema afirma que se \( a \) e \( m \) são primos entre si, então \( a^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod{m} \), onde \( \phi(m) \) é a função totiente de Euler. No caso de 56, \( \phi(56) = \phi(2^3 \times 7) = (2^3 - 2^2) \times (7-1) = 32 \). Portanto, \( n^{32} \equiv 1 \pmod{56} \). Isso significa que o resto da divisão de \( n^3 \) por 56 será o mesmo que o resto da divisão de \( n^{3 \mod 32} \) por 56. Como \( 3 \mod 32 = 3 \), o resto da divisão de \( n^3 \) por 56 será o mesmo que o resto da divisão de \( n^3 \) por 56. Assim, o resto será sempre 0, 1, 8 ou 27.