Encontre a série de Fourier para a função f (x) = 1 se 0 ≤ x ≤ π e f (x) = − 1 se π ≤ x ≤ 2π.

Para encontrar a série de Fourier para a função \( f(x) = 1 \) se \( 0 \leq x \leq \pi \) e \( f(x) = -1 \) se \( \pi \leq x \leq 2\pi \), precisamos calcular os coeficientes da série de Fourier. Os coeficientes \( a_0 \), \( a_n \) e \( b_n \) são dados por: \[ a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \, dx \] \[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx \] \[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx \] Para \( a_0 \): \[ a_0 = \frac{1}{2\pi} \left( \int_{0}^{\pi} 1 \, dx + \int_{\pi}^{2\pi} (-1) \, dx \right) \] \[ a_0 = \frac{1}{2\pi} \left( \pi - \pi \right) = 0 \] Para \( a_n \): \[ a_n = \frac{1}{\pi} \left( \int_{0}^{\pi} 1 \cdot \cos(nx) \, dx + \int_{\pi}^{2\pi} (-1) \cdot \cos(nx) \, dx \right) \] \[ a_n = \frac{1}{\pi} \left( \int_{0}^{\pi} \cos(nx) \, dx - \int_{\pi}^{2\pi} \cos(nx) \, dx \right) \] \[ a_n = \frac{1}{\pi} \left( \frac{\sin(n\pi)}{n} - \frac{\sin(2n\pi)}{n} - \frac{\sin(n\pi)}{n} + \frac{\sin(2n\pi)}{n} \right) \] \[ a_n = \frac{2}{\pi n} \left(1 - (-1)^n \right) \] Para \( b_n \): Como a função é par, todos os coeficientes \( b_n \) serão zero. Portanto, a série de Fourier para a função dada é: \[ f(x) = \frac{2}{\pi} \left( \frac{1}{1} \sin(x) + \frac{1}{3} \sin(3x) + \frac{1}{5} \sin(5x) + \ldots \right) \]