Determine o foco da parábola de equação x² + kx + 4y + 14 = 0, k real, que passa no ponto (3, -7)

Para determinar o foco da parábola, primeiro precisamos completar o quadrado para encontrar a forma padrão da equação da parábola. A equação dada é x² + kx + 4y + 14 = 0. Rearranjando os termos, temos x² + kx = -4y - 14. Completando o quadrado para x, obtemos (x + k/2)² = -4y - 14 + (k/2)². Para que a parábola passe pelo ponto (3, -7), podemos substituir x = 3 e y = -7 na equação. Assim, (3 + k/2)² = 28 + (k/2)². Resolvendo essa equação, encontramos o valor de k e, em seguida, podemos determinar o foco da parábola.