13. Problema: Determine a série de Taylor da função f(x) = sin(x) centrada em x = π/4.

Para determinar a série de Taylor da função \( f(x) = \sin(x) \) centrada em \( x = \frac{\pi}{4} \), podemos usar a fórmula geral da série de Taylor: \[ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \ldots \] Para a função \( f(x) = \sin(x) \), temos que \( f'(x) = \cos(x) \), \( f''(x) = -\sin(x) \) e \( f'''(x) = -\cos(x) \). Calculando as derivadas em \( x = \frac{\pi}{4} \), temos que \( f(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( f'(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( f''(\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) e \( f'''(\frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Substituindo na fórmula da série de Taylor, obtemos: \[ \sin(x) \approx \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}(x-\frac{\pi}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2!}(x-\frac{\pi}{4})^2 - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 3!}(x-\frac{\pi}{4})^3 + \ldots \] Essa é a série de Taylor da função \( f(x) = \sin(x) \) centrada em \( x = \frac{\pi}{4} \).