Problema: Determine os pontos de máximo e mínimo da função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \). O ponto de máximo é \( x = 1 \) e o ponto de mínimo é ...

Para determinar os pontos de máximo e mínimo da função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \), é necessário encontrar os valores de \( x \) onde a derivada primeira se anula. Calculando a derivada de \( f(x) \) e igualando a zero, obtemos: \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \) Igualando a zero e resolvendo a equação \( 3x^2 - 12x + 9 = 0 \), encontramos \( x = 1 \) como o ponto crítico. Para determinar se é um ponto de máximo ou mínimo, podemos usar o teste da derivada segunda. Calculando a derivada segunda de \( f(x) \) e substituindo \( x = 1 \), obtemos: \( f''(x) = 6x - 12 \) \( f''(1) = 6(1) - 12 = -6 \) Como a segunda derivada é negativa em \( x = 1 \), temos um ponto de máximo nesse ponto. Portanto, o ponto de mínimo não existe.