Ache os valores reais de p para os quais a função f(x) = (p – 1)x2 + (2p – 2)x + p + 1 é positiva, qualquer que seja x.

Para que a função \( f(x) = (p - 1)x^2 + (2p - 2)x + p + 1 \) seja positiva para qualquer valor de \( x \), o discriminante da função quadrática deve ser negativo. O discriminante da função quadrática \( ax^2 + bx + c \) é dado por \( \Delta = b^2 - 4ac \). Neste caso, temos \( a = p - 1 \), \( b = 2p - 2 \) e \( c = p + 1 \). Portanto, para que a função seja sempre positiva, o discriminante deve ser negativo: \( \Delta = (2p - 2)^2 - 4(p - 1)(p + 1) < 0 \) Resolvendo essa desigualdade, encontramos os valores reais de \( p \) para os quais a função é positiva para qualquer \( x \).