Determine os valores reais de m para os quais a função f(x) = mx2 +(4m + 2)x + 4m é negativa, qualquer que seja x.

Para que a função \( f(x) = mx^2 + (4m + 2)x + 4m \) seja negativa para qualquer valor de \( x \), precisamos garantir que a parábola representada por essa função esteja sempre abaixo do eixo \( x \). Isso ocorre quando: 1. O coeficiente \( m \) de \( x^2 \) deve ser negativo (para que a parábola abra para baixo). 2. O discriminante da função quadrática deve ser menor que zero (para que não haja raízes reais). Vamos analisar cada condição: 1. Coeficiente negativo: \[ m < 0 \] 2. Discriminante menor que zero: O discriminante \( \Delta \) é dado por: \[ \Delta = b^2 - 4ac \] Onde \( a = m \), \( b = 4m + 2 \) e \( c = 4m \). Assim, temos: \[ \Delta = (4m + 2)^2 - 4(m)(4m) \] Simplificando: \[ \Delta = (16m^2 + 16m + 4) - (16m^2) = 16m + 4 \] Para que a parábola não tenha raízes reais, precisamos que: \[ 16m + 4 < 0 \] Resolvendo essa inequação: \[ 16m < -4 \implies m < -\frac{1}{4} \] Portanto, as condições que devem ser satisfeitas são: - \( m < 0 \) - \( m < -\frac{1}{4} \) Assim, a solução final é: \[ m < -\frac{1}{4} \] Esses são os valores reais de \( m \) para os quais a função \( f(x) \) é negativa para qualquer \( x \).