Determine a distância entre a reta x 2 = y 2 = z − 1 1 ???? 2 = ???? 2 = ???? − 1 1 e o ponto P(0, 2, 0) A 2 B 1 C 3 D 4 E 0

Question

Determine a distância entre a reta  x 2 = y 2 = z − 1 1 ???? 2 = ???? 2 = ???? − 1 1  e o ponto P(0, 2, 0)   A  2   B  1   C  3   D  4   E  0

Ed · Answer

Para determinar a distância entre a reta dada e o ponto $ P(0, 2, 0) $, precisamos primeiro entender a equação da reta.

A reta $ x^2 = y^2 = z - 1 $ pode ser reescrita em termos de parâmetros. Vamos considerar $ x = t $ e $ y = t $, então temos $ z = t + 1 $. Assim, a reta pode ser parametrizada como:

$$
(x, y, z) = (t, t, t + 1)
$$

Agora, precisamos calcular a distância do ponto $ P(0, 2, 0) $ a essa reta. A fórmula da distância de um ponto a uma reta no espaço é dada por:

$$
d = \frac{|(P - A) \cdot (B - A)|}{|B - A|}
$$

onde $ A $ é um ponto na reta e $ B $ é um vetor diretor da reta.

Escolhendo $ A(0, 0, 1) $ (quando $ t = 0 $) e o vetor diretor $ B - A = (1, 1, 1) $.

Agora, o vetor $ P - A = (0 - 0, 2 - 0, 0 - 1) = (0, 2, -1) $.

Calculando o produto escalar:

$$
(P - A) \cdot (B - A) = (0, 2, -1) \cdot (1, 1, 1) = 0 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 = 2 - 1 = 1
$$

Agora, precisamos calcular $ |B - A| $:

$$
|B - A| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}
$$

Portanto, a distância $ d $ é:

$$
d = \frac{|1|}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0,577
$$

Nenhuma das alternativas parece corresponder a esse valor. Portanto, a resposta correta é que a distância não está entre as opções apresentadas.

Se precisar de mais ajuda, é só avisar!

Ed · Answer

Para determinar a distância entre a reta e o ponto dado, podemos seguir os seguintes passos:

1. Encontrar um ponto genérico na reta:
x = t
y = t
z = t + 1

2. Encontrar o vetor diretor da reta:
V = (1, 1, 1)

3. Encontrar um vetor que liga um ponto genérico da reta ao ponto P(0, 2, 0):
V1 = (0 - t, 2 - t, 0 - (t + 1)) = (-t, 2 - t, -t - 1)

4. Calcular a projeção de V1 em V:
projV1V = (V1 . V) / |V|^2 * V
projV1V = ((-t) * 1 + (2 - t) * 1 + (-t - 1) * 1) / (1^2 + 1^2 + 1^2) * (1, 1, 1)
projV1V = (1 - t) / 3 * (1, 1, 1)

5. Calcular a distância entre o ponto P e a reta:
d = |V1 - projV1V|
d = |(-t, 2 - t, -t - 1) - (1 - t) / 3 * (1, 1, 1)|
d = |(-t - (1 - t) / 3, 2 - t - (1 - t) / 3, -t - 1 - (1 - t) / 3)|
d = |(-2t + 1 / 3, 6 - 2t - 1 / 3, -3t - 3 - 1 / 3)|
d = sqrt((-2t + 1 / 3)^2 + (6 - 2t - 1 / 3)^2 + (-3t - 3 - 1 / 3)^2)

Substituindo t = 0 (para o ponto P(0, 2, 0)), temos:
d = sqrt((1 / 3)^2 + (6 - 1 / 3)^2 + (-3 - 1 / 3)^2)
d = sqrt(1 / 9 + 35 2 / 9 + 10 / 9)
d = sqrt(47 / 9)
d = sqrt(47) / 3

Portanto, a distância entre a reta e o ponto P(0, 2, 0) é aproximadamente 3,42. A alternativa correta é C) 3.

Ed · Answer

Para determinar a distância entre a reta e o ponto P(0, 2, 0), podemos usar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta. Primeiro, encontramos um ponto na reta mais próximo de P, que é o ponto Q(0, 2, 1). Em seguida, calculamos a distância entre P e Q, que é igual a 1. Portanto, a alternativa correta é: B) 1

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B) 1

Geometria Analítica

Determine a distância entre a reta x 2 = y 2 = z − 1 1 ???? 2 = ???? 2 = ???? − 1 1 e o ponto P(0, 2, 0) A 2 B 1 C 3 D 4 E 0

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