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Probabilidade e Estatísticas

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Um vendedor de equipamentos pesados pode visitar, num dia, um ou dois clientes, com probabilidade de 1/3 e 2/3 respectivamente. De cada contato, pode resultar a venda de um equipamento por 50.000 u.m com probabilidade 1/10 ou nenhuma venda, com probabilidade 9/10. Indicando por Y o valor total de vendas diárias deste vendedor, escreva a função de probabilidade de Y e calcule o valor total esperado de vendas diárias.

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Questões Para o Saber

há 2 anos

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há 2 anos

Exercícios de Estatística Aplicada
126 pág.

Exercícios de Estatística Aplicada

UAM

Respostas

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há 7 meses

Vamos resolver a questão passo a passo. 1. Definindo as variáveis: - O vendedor pode visitar 1 ou 2 clientes com as seguintes probabilidades: - 1 cliente: \( P(1) = \frac{1}{3} \) - 2 clientes: \( P(2) = \frac{2}{3} \) 2. Resultados de vendas: - Para cada cliente, a venda pode ser de 50.000 u.m com probabilidade \( \frac{1}{10} \) ou nenhuma venda (0 u.m) com probabilidade \( \frac{9}{10} \). 3. Calculando a função de probabilidade de Y: - Se o vendedor visita 1 cliente: - Venda de 50.000 u.m: \( P(Y = 50.000) = \frac{1}{10} \) - Nenhuma venda: \( P(Y = 0) = \frac{9}{10} \) - Se o vendedor visita 2 clientes: - Vendas possíveis: - 0 vendas: \( P(Y = 0) = \left(\frac{9}{10}\right)^2 = \frac{81}{100} \) - 1 venda: \( P(Y = 50.000) = 2 \cdot \left(\frac{1}{10}\right) \cdot \left(\frac{9}{10}\right) = \frac{18}{100} \) - 2 vendas: \( P(Y = 100.000) = \left(\frac{1}{10}\right)^2 = \frac{1}{100} \) 4. Função de probabilidade total: - Para 1 cliente: - \( P(Y = 0) = \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{10} \) - \( P(Y = 50.000) = \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{30} \) - Para 2 clientes: - \( P(Y = 0) = \frac{81}{100} \cdot \frac{2}{3} = \frac{54}{100} = \frac{27}{50} \) - \( P(Y = 50.000) = \frac{18}{100} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{100} = \frac{3}{25} \) - \( P(Y = 100.000) = \frac{1}{100} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{300} = \frac{1}{150} \) 5. Consolidando a função de probabilidade: - \( P(Y = 0) = \frac{3}{10} + \frac{27}{50} = \frac{15}{50} + \frac{27}{50} = \frac{42}{50} = \frac{21}{25} \) - \( P(Y = 50.000) = \frac{1}{30} + \frac{3}{25} = \frac{5}{150} + \frac{18}{150} = \frac{23}{150} \) - \( P(Y = 100.000) = \frac{1}{150} \) 6. Valor esperado de Y: - \( E(Y) = 0 \cdot P(Y = 0) + 50.000 \cdot P(Y = 50.000) + 100.000 \cdot P(Y = 100.000) \) - \( E(Y) = 0 + 50.000 \cdot \frac{23}{150} + 100.000 \cdot \frac{1}{150} \) - \( E(Y) = \frac{1.150.000}{150} = 7.666,67 \) u.m Portanto, a função de probabilidade de Y é: - \( P(Y = 0) = \frac{21}{25} \) - \( P(Y = 50.000) = \frac{23}{150} \) - \( P(Y = 100.000) = \frac{1}{150} \) E o valor total esperado de vendas diárias é aproximadamente 7.666,67 u.m.

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há 2 anos

Para escrever a função de probabilidade de Y, primeiro precisamos considerar todas as possibilidades de vendas diárias do vendedor. Ele pode vender 0, 1 ou 2 equipamentos. Vamos calcular a probabilidade de cada cenário: - Probabilidade de vender 0 equipamentos: P(vender 0) = P(0 clientes) * P(nenhuma venda) = (1/3) * (9/10) = 3/10 - Probabilidade de vender 1 equipamento: P(vender 1) = P(1 cliente) * P(uma venda) = (2/3) * (1/10) = 1/15 - Probabilidade de vender 2 equipamentos: P(vender 2) = P(2 clientes) * P(duas vendas) = (2/3) * (1/10)^2 = 1/30 A função de probabilidade de Y será dada por: P(Y = 0) = 3/10 P(Y = 50.000) = 1/15 P(Y = 100.000) = 1/30 Para calcular o valor total esperado de vendas diárias, basta multiplicar cada valor de venda pela sua probabilidade correspondente e somar: E(Y) = 0 * 3/10 + 50.000 * 1/15 + 100.000 * 1/30 E(Y) = 0 + 3.333,33 + 3.333,33 E(Y) = 6.666,67 u.m Portanto, o valor total esperado de vendas diárias deste vendedor é de 6.666,67 unidades monetárias.

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2.5. Muitas pessoas acreditam que as famílias se tornaram menores. Suponha que, para estudar essa questão, um pesquisador selecionou uma amostra de 2.000 casais e perguntou quantos filhos eles tinham, quantos filhos tinham seus pais e quantos filhos tinham seus avós. O procedimento produz dados tendenciosos. Por quê?

Construa uma distribuição de freqüência sem intervalo de classe e determine: a) O número de classe; b) A amplitude total; c) A freqüência total; d) A freqüência simples absoluta do primeiro elemento; e) A freqüência simples relativa do primeiro elemento; f) A freqüência acumulada do primeiro elemento; g) A freqüência acumulada relativa do primeiro elemento; h) A freqüência simples absoluta do segundo elemento; i) A freqüência simples relativa do quinto elemento; j) A freqüência acumulada relativa do sexto elemento:

Considere a seguinte distribuição de frequência correspondente aos diferentes preços em u.m de um determinado produto em vinte lojas pesquisadas. a) Quantas lojas apresentaram um preço de 52,00 u.m? b) Construa uma tabela de frequências simples relativas. c) Construa uma tabela de frequências absolutas acumuladas. d) Quantas lojas apresentaram um preço de até 52,00 u.m (inclusive)? e) Qual o percentual de lojas com preço maior de que 51,00 u.m e menor de que 54,00 u.m?

Os dados a seguir referem-se ao número de livros adquiridos, no ano passado, pelos 40 alunos da Turma A: a) Classifique a variável. b) Organize os dados em uma tabela adequada. c) Qual o percentual de alunos que adquiriram menos do que 3 livros? d) Qual o percentual de alunos que adquiriram pelo menos 4 livros? e) A partir do item (b), quantos livros foram adquiridos pelos 40 alunos?

Queremos dividir os frangos em 4 categorias, com relação ao peso, de modo que os 20% mais leves sejam da categoria D, os 30% seguintes sejam da categoria C, os 30% seguintes sejam da categoria B, os 20% restantes sejam da categoria A. Apresente a tabela dos limites de peso entre as categorias A, B, C, D?

5.7. Considere 2 urnas. A primeira com 4 cartas numeradas de 1 a 4 e a segunda com 3 cartas numeradas de 7 a 9. Duas cartas são extraídas da primeira urna, sucessivamente e sem reposição, e em seguida duas cartas são extraídas da segunda urna, sucessivamente e sem reposição. Quantos números de 4 algarismos podem ser formados com os números das cartas na sequência em que foram obtidas?

Calcule a probabilidade de que: a) Ele prefira simultaneamente as três categorias. b) Ele prefira somente uma das categorias. c) Ele prefira somente a categoria B ou C; d) Ele prefira somente a categoria B e C; e) Ele prefira pelo menos uma das categorias

A probabilidade de um homem sobreviver mais 10 anos, a partir de uma certa data, é 0,4, e de que sua esposa sobreviva mais 10 anos a partir da mesma data é 0,5. Qual a probabilidade de:

a) Ambos sobreviverem mais 10 anos a partir daquela data?

b) Ao menos um deles sobreviver mais 10 anos a partir daquela data?

Sejam A e B eventos tais que P(A) = 0.3, P(B) = 0.4 e P(A ∩ B) = 0.1.

a) Para qual valor de P A e B são disjuntos?

b) Para qual valor de P A e B são independentes?

Dois equipamentos, A e B, para processamento de dosagens bioquímicas são colocados para teste de controle de qualidade por 120 horas. A probabilidade de que um erro de cálculo aconteça em um equipamento do tipo A é de 1/30, no tipo B, 1/80 e em ambos, 1/1000. Qual a probabilidade de que:

a) Pelo menos um dos equipamentos tenha apresentado erro?

b) Nenhum equipamento tenha apresentado erro?

c) Apenas o equipamento A tenha apresentado erro?

Sabe-se que um soro da verdade, quando ministrado a um suspeito, é 90% eficaz quando a pessoa é culpada e 99% eficaz quando é inocente. Em outras palavras, 10% dos culpados são julgados inocentes, e 1% dos inocentes é julgado culpado. Se o suspeito foi retirado de um grupo em que 95% jamais cometeram qualquer crime, e o soro indica culpado qual a probabilidade de o suspeito ser inocente?

Em um levantamento em um bairro de 1.000 moradores, verifica-se que:

- 220 têm curso superior;
- 160 são casados;
- 100 estão desempregados;
- 50 têm curso superior, são casados e estão empregados;
- 60 têm curso superior e estão desempregados;
- 20 têm curso superior, são casados e estão desempregados.

Escolhe-se ao acaso um morador desse bairro. Qual é a probabilidade de que ele:

a) Tenha curso superior e seja casado?

b) Ou tenha curso superior e seja casado ou esteja empregado

c) Ou tenha curso superior ou esteja desempregado?

Num supermercado há 2000 lâmpadas provenientes de três fábricas distintas X, Y e Z. X produziu 500, das quais 400 são boas. Y produziu 700, das quais 600 são boas e Z as restantes, das quais 500 são boas. Se sorteamos ao acaso uma das lâmpadas nesse supermercado, qual a probabilidade de que seja boa?

Num grupo de 100 pessoas da zona rural, 25 estão afetadas por uma parasitose intestinal A e 11 por uma parasitose intestinal B, não se verificando nenhum caso de incidência conjunta de A e B. Duas pessoas desse grupo são escolhidas, aleatoriamente, após a outra. Determine a probabilidade de que, dessa dupla, a primeira pessoa esteja afetada por A e a segunda por B.

Um homem possui 4 chaves em seu bolso. Como está escuro, ele não consegue ver qual a chave correta para abrir a porta de sua casa. Ele testa cada uma das chaves até encontrar a correta.

a) Defina um espaço amostral para esse experimento.

b) Defina a v.a. X = número de chaves experimentadas até conseguir abrir a porta (inclusive a chave correta). Quais são os valores de X?

c) Encontre a f.d.p da v.a. X.

Numa urna há 7 bolas brancas e 4 bolas verdes. Cinco bolas são extraídas dessa urna. Defina a v.a. X = número de bolas verdes.

a) Quais são os possíveis valores de X se as extrações são feitas (1) sem reposição; (2) com reposição.

b) Encontre a fdp da v.a. X.

Em determinado setor de uma loja de departamentos, o número de produtos vendidos em um dia pelos funcionários é uma variável aleatória P com a seguinte distribuição de probabilidades:

- 0 produtos: 0.1
- 1 produto: 0.2
- 2 produtos: 0.3
- 3 produtos: 0.2
- 4 produtos: 0.1
- 5 produtos: 0.1

Calcule a média e a variância dessa distribuição.

Uma loteria distribui prêmios entre seus clientes da seguinte forma: 400 prêmios de 100,00 u.m; 50 prêmios de 200,00 u.m; 10 prêmios de 400,00 u.m. Admitindo-se que em um concurso sejam emitidos e vendidos 10.000 bilhetes, qual o preço justo a se pagar por um bilhete?

Um jogador A paga 5,00 u.m a B e lança um dado. Se sair face 3, ganha 20,00 u.m. Se sair face 4, 5, ou 6, perde. Se sair face 1 ou 2, tem o direito de jogar novamente. Desta vez, lança dois dados. Se saírem duas faces 6, ganha 50,00 u.m. Se sair uma face 6, recebe o dinheiro de volta. Nos demais casos, perde. Seja L o lucro líquido do jogador A nesse jogo. Calcule a função de probabilidade de L e o lucro esperado do jogador A.

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