Considere o homomorfismo f:Z×Z→Z definido por f(a,b)=a. Julgue as afirmativas abaixo como verdadeiras ou falsas e assinale a sequência correta.
kerâ�¡ã��f={(0,b) â�¤| b∈Z}ã��
O núcleo de f é trivial.
O núcleo de f possui infinitos elementos.
A) F,V,V.
B) V,V,V.
C) F,F,F.
D) V,F,V.
E) V,V,F.

Question

Considere o homomorfismo f:Z×Z→Z definido por f(a,b)=a. Julgue as afirmativas abaixo como verdadeiras ou falsas e assinale a sequência correta.
ker...

Ed · Answer

Vamos analisar as afirmativas sobre o homomorfismo $ f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} $ definido por $ f(a,b) = a $:

1. **ker f = {(0,b) | b ∈ Z}**: O núcleo de $ f $ é o conjunto de todos os elementos que são mapeados para o elemento neutro em $ \mathbb{Z} $, que é 0. Portanto, $ ker f = \{(0,b) | b \in \mathbb{Z}\} $ está correto, pois todos os pares onde $ a = 0 $ são levados a 0.

2. **O núcleo de f é trivial**: Essa afirmativa é falsa. O núcleo não é trivial, pois contém infinitos elementos (todos os pares da forma $ (0,b) $ com $ b \in \mathbb{Z} $).

3. **O núcleo de f possui infinitos elementos**: Essa afirmativa é verdadeira. Como mencionado, o núcleo contém todos os pares $ (0,b) $ para $ b \in \mathbb{Z} $, o que significa que há infinitos elementos.

Agora, vamos classificar as afirmativas:

- Afirmativa 1: Verdadeira (V)
- Afirmativa 2: Falsa (F)
- Afirmativa 3: Verdadeira (V)

Portanto, a sequência correta é: **D) V, F, V.**

Ed · Answer

Vamos analisar cada afirmativa:

1. O núcleo de f é trivial.  
Verdadeiro (V). O núcleo de um homomorfismo é trivial quando consiste apenas do elemento neutro do conjunto inicial. No caso, o núcleo de f é ker(f)={(0,b) | b∈Z}, ou seja, o elemento neutro (0,0) não está presente no núcleo, tornando-o não trivial.

2. O núcleo de f possui infinitos elementos.  
Falso (F). O núcleo de f é dado por ker(f)={(0,b) | b∈Z}, ou seja, todos os elementos da forma (0,b) com b pertencente aos inteiros. Apesar de ser uma quantidade potencialmente grande de elementos, o núcleo é finito e não infinito.

Portanto, a sequência correta é:  
A) F, V, V.

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revisao_simulado 18 07 2022 aneis himomorfismo e isomorfismo

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