Vamos analisar a função \( f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \) dada por \( f(x,y) = (x-y, 0) \). 1. Sobrejetividade: Para que \( f \) seja sobrejetora, para todo \( (a,b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \), deve existir \( (x,y) \) tal que \( f(x,y) = (a,b) \). Como a segunda coordenada de \( f(x,y) \) é sempre 0, \( f \) não é sobrejetora. 2. Núcleo (ker): O núcleo de \( f \) é o conjunto de todos os \( (x,y) \) tais que \( f(x,y) = (0,0) \). Isso ocorre quando \( x - y = 0 \), ou seja, \( x = y \). Portanto, \( \text{ker } f = \{(x,y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} | x = y\} \) está correto. 3. Isomorfismo: Para que \( f \) seja um isomorfismo, deve ser injetora e sobrejetora. Como já vimos que não é sobrejetora, não pode ser um isomorfismo. 4. Injetividade: Para que \( f \) seja injetora, se \( f(x_1,y_1) = f(x_2,y_2) \), então \( (x_1 - y_1, 0) = (x_2 - y_2, 0) \). Isso implica que \( x_1 - y_1 = x_2 - y_2 \), mas não garante que \( (x_1,y_1) = (x_2,y_2) \). Portanto, \( f \) não é injetora. 5. Núcleo igual a {(0,0)}: Como já estabelecido, o núcleo é \( \{(x,y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} | x = y\} \), que não é igual a \( \{(0,0)\} \). Dessa forma, a alternativa correta é: ker \( f = \{(x,y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} | x = y\}.