5. (EsPCEx 2017) A soma das soluções da equação cos(2x) cos(x) 0,  com x [0, 2 ),π é igual a a) 5π/3 b) 2π c) 7π/3 d) π e) 8π/3

Para resolver essa questão, primeiro precisamos encontrar as soluções da equação \( \cos(2x) \cdot \cos(x) = 0 \) no intervalo \( x \in [0, 2\pi) \). Sabemos que \( \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 \). Substituindo na equação, temos \( (2\cos^2(x) - 1) \cdot \cos(x) = 0 \). Isolando as soluções para \( \cos(x) \), temos \( \cos(x) = 0 \) e \( \cos(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \). As soluções para \( \cos(x) = 0 \) ocorrem em \( x = \frac{\pi}{2} \) e \( x = \frac{3\pi}{2} \). As soluções para \( \cos(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \) ocorrem em \( x = \frac{\pi}{4} \) e \( x = \frac{7\pi}{4} \). Agora, precisamos somar todas essas soluções no intervalo \( x \in [0, 2\pi) \): \( \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \frac{7\pi}{4} = 5\pi \). Portanto, a soma das soluções da equação é igual a \( 5\pi \). Assim, a alternativa correta é: b) 2π.