Grátis: Determine a integral indefinida ∫ sqrt(1 + x^2) dx. Faça a substituição u = 1 + x^2, du = 2x dx. A integral torna-se (1/2) ∫ u^(1/2) du = (1/3) (1 ...

Probabilidade e Estatísticas

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Determine a integral indefinida ∫ sqrt(1 + x^2) dx.
Faça a substituição u = 1 + x^2, du = 2x dx.
A integral torna-se (1/2) ∫ u^(1/2) du = (1/3) (1 + x^2)^(3/2) + C.

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A resposta fornecida na descrição da pergunta está correta. Ao realizar a substituição \( u = 1 + x^2 \) e \( du = 2x dx \), a integral indefinida \( \int \sqrt{1 + x^2} dx \) se transforma em \( \frac{1}{2} \int u^{1/2} du \). Integrando \( u^{1/2} \), obtemos \( \frac{2}{3} u^{3/2} \), que substituindo de volta \( u = 1 + x^2 \) resulta em \( \frac{2}{3} (1 + x^2)^{3/2} + C \). Portanto, a resposta correta é \( \frac{2}{3} (1 + x^2)^{3/2} + C \).

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ESTÁCIO

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Encontre a derivada da função f(x) = x^2 ln(x).
Use a regra do produto: f'(x) = 2x ln(x) + x.

Determine a integral indefinida ∫ e^(2x) cos(3x) dx.
Use integração por partes: u = e^(2x) (derivada du = 2e^(2x) dx), dv = cos(3x) dx (integral v = sin(3x)/3).
Então, ∫ e^(2x) cos(3x) dx = (e^(2x) sin(3x))/3 - (2/3) ∫ e^(2x) sin(3x) dx.

Calcule a integral definida ∫_{0}^{π/4} cos^2(x) dx.
Use a identidade cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2.
Então, ∫_{0}^{π/4} cos^2(x) dx = ∫_{0}^{π/4} (1 + cos(2x))/2 dx = (1/2) [x + sin(2x)/2]_{0}^{π/4} = (π/8) + 1/4.

Se 5 cartas são retiradas aleatoriamente de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de pelo menos uma ser um ás?
A probabilidade é 1 - (48/52)^5.
Usamos o princípio da complementaridade para calcular a probabilidade de pelo menos uma carta ser um ás.

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Determine a integral indefinida ∫ e^(2x) cos(3x) dx.Use integração por partes: u = e^(2x) (derivada du = 2e^(2x) dx), dv = cos(3x) dx (integral v = sin(3x)/3).Então, ∫ e^(2x) cos(3x) dx = (e^(2x) sin(3x))/3 - (2/3) ∫ e^(2x) sin(3x) dx.

Calcule a integral definida ∫_{0}^{π/4} cos^2(x) dx.Use a identidade cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2.Então, ∫_{0}^{π/4} cos^2(x) dx = ∫_{0}^{π/4} (1 + cos(2x))/2 dx = (1/2) [x + sin(2x)/2]_{0}^{π/4} = (π/8) + 1/4.

Se 5 cartas são retiradas aleatoriamente de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de pelo menos uma ser um ás?A probabilidade é 1 - (48/52)^5.Usamos o princípio da complementaridade para calcular a probabilidade de pelo menos uma carta ser um ás.

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Use integração por partes: u = e^(2x) (derivada du = 2e^(2x) dx), dv = cos(3x) dx (integral v = sin(3x)/3).
Então, ∫ e^(2x) cos(3x) dx = (e^(2x) sin(3x))/3 - (2/3) ∫ e^(2x) sin(3x) dx.

Calcule a integral definida ∫_{0}^{π/4} cos^2(x) dx.
Use a identidade cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2.
Então, ∫_{0}^{π/4} cos^2(x) dx = ∫_{0}^{π/4} (1 + cos(2x))/2 dx = (1/2) [x + sin(2x)/2]_{0}^{π/4} = (π/8) + 1/4.

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A probabilidade é 1 - (48/52)^5.
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