Determine o ponto A', simétrico de A (1,4,2) em relação ao plano π: x−y+z−2 =0. RESP: R: A'(3,2,4)

Para determinar o ponto A' simétrico de A(1, 4, 2) em relação ao plano π: x - y + z - 2 = 0, siga os passos abaixo: 1. Identifique o ponto A: A(1, 4, 2). 2. Encontre a equação do plano: x - y + z - 2 = 0. 3. Calcule a distância do ponto A ao plano: Use a fórmula da distância de um ponto a um plano, que é dada por: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Onde A, B, C são os coeficientes do plano e (x0, y0, z0) são as coordenadas do ponto A. Aqui, A=1, B=-1, C=1 e D=-2. Para A(1, 4, 2): \[ d = \frac{|1*1 + (-1)*4 + 1*2 - 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{|1 - 4 + 2 - 2|}{\sqrt{3}} = \frac{| -3 |}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \] 4. Encontre o ponto de projeção P do ponto A sobre o plano: Para isso, você pode usar a fórmula do ponto de projeção, que envolve a normal do plano. A normal do plano é o vetor (1, -1, 1). O ponto P pode ser encontrado subtraindo a distância d na direção da normal: \[ P = A - d \cdot \frac{(1, -1, 1)}{\sqrt{3}} = (1, 4, 2) - \left(\sqrt{3} \cdot \frac{(1, -1, 1)}{\sqrt{3}}\right) = (1, 4, 2) - (1, -1, 1) = (0, 5, 1) \] 5. Calcule o ponto A': O ponto A' é encontrado somando a distância d na direção oposta da normal: \[ A' = P + d \cdot \frac{(1, -1, 1)}{\sqrt{3}} = (0, 5, 1) + (1, -1, 1) = (1, 4, 2) + (2, -2, 2) = (3, 2, 4) \] Portanto, o ponto A' simétrico de A em relação ao plano π é A'(3, 2, 4).