9a QUESTÃO Valor: 1,0Considere os números complexos Z1 = sen(α) + i cos(α) e Z2 = cos(α) – i sen(α), onde α é um número real. Mostre que, se Z = Z1 ∙ Z2, então – 1 ≤ Re (Z) ≤ 1 e –1 ≤ Im (Z) ≤ 1, onde Re(Z) e Im(Z) indicam, respectivamente, as partes real e imaginária de Z.

Question

9a QUESTÃO Valor: 1,0
Considere os números complexos Z1 = sen(α) + i cos(α) e Z2 = cos(α) – i sen(α), onde α é um número real. Mostre que, se Z = Z...

Ed · Answer

Para mostrar que -1 ≤ Re(Z) ≤ 1 e -1 ≤ Im(Z) ≤ 1, onde Re(Z) e Im(Z) são as partes real e imaginária de Z, respectivamente, podemos calcular Z = Z1 ∙ Z2 e então analisar os valores das partes real e imaginária de Z.

Dado que Z1 = sen(α) + i cos(α) e Z2 = cos(α) - i sen(α), podemos multiplicá-los:
Z = Z1 ∙ Z2
Z = (sen(α) + i cos(α)) ∙ (cos(α) - i sen(α))
Z = sen(α)cos(α) + i sen(α)cos(α) + i cos²(α) - i² sen(α)²
Z = sen(α)cos(α) + i sen(α)cos(α) + i cos²(α) + sen(α)²
Z = sen(2α) + i (cos(2α))

Agora, podemos analisar as partes real e imaginária de Z:
Re(Z) = sen(2α) e Im(Z) = cos(2α)

Sabendo que -1 ≤ sen(2α) ≤ 1 e -1 ≤ cos(2α) ≤ 1 para qualquer valor de α, concluímos que -1 ≤ Re(Z) ≤ 1 e -1 ≤ Im(Z) ≤ 1.

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