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Álgebra Linear

Colégio Objetivo
10 - Uma matriz triangular superior (inferior) de ordem é uma matriz quadrada de ordem n na qual os elementos aij são nulos quando i > j (respectivamente, i < j). Acerca dessas matrizes, é correto afirmar (assinale verdadeiro (V) ou falso (F)): I. O produto de duas matrizes triangulares superiores (inferiores) é novamente uma matriz triangular superior (inferior). II. O produto de uma matriz triangular inferior por uma matriz triangular superior resulta em uma matriz diagonal. III. O determinante de uma matriz triangular é o produto de seus elementos diagonais.

F, V, F
F, V, V
V, F, V
V, V, V
V, F, F
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Respostas

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Vamos analisar cada afirmação sobre as matrizes triangulares: I. O produto de duas matrizes triangulares superiores (inferiores) é novamente uma matriz triangular superior (inferior). Verdadeiro (V). Quando multiplicamos duas matrizes triangulares superiores (ou inferiores), o resultado é novamente uma matriz triangular superior (ou inferior) devido à propriedade das posições dos elementos nulos. II. O produto de uma matriz triangular inferior por uma matriz triangular superior resulta em uma matriz diagonal. Falso (F). O produto de uma matriz triangular inferior por uma matriz triangular superior não resulta necessariamente em uma matriz diagonal, pois a multiplicação de matrizes não segue essa propriedade específica. III. O determinante de uma matriz triangular é o produto de seus elementos diagonais. Verdadeiro (V). Para matrizes triangulares, o determinante é calculado como o produto dos elementos da diagonal principal, o que é uma propriedade dessas matrizes. Portanto, a sequência correta é V, F, V. A alternativa que corresponde a essa sequência é: V, F, V.

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2 - Quais dos seguintes conjuntos de elementos, com as operações especificadas, formam um espaço vetorial? I. O conjunto de todos os polinômios de primeiro grau com as operações e II. O conjunto de todos os pares ordenados com e as operações usuais de adição vetorial e multiplicação por escalar. III. O conjunto de todos os números reais positivos com as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar definidas como x + y = xy e kx = xk. Somente I. Somente II. I e II. II e III. Somente III.

4 - Seja V um espaço vetorial qualquer de dimensão dimV = n Verifique quais das seguintes afirmacoes acerca de V são verdadeiras (V) ou falsas (F): I. Qualquer conjunto de n + 1 vetores de V é linearmente dependente. II. Qualquer conjunto de n vetores linearmente independentes de V pode ser usado como uma base para V. III. Se é uma base de V, então todo pode ser representado como uma combinação linear dos elementos de B de maneira única.

V, F, V
V, V, V
F, V, F
V, F, F
F, V, V

9 - Determine quais dos conjuntos de vetores abaixo são linearmente dependentes (LD) e quais são linearmente independentes (LI) nos seus respectivos espaços: I. As matrizes no espaço das matrizes 2 x 2 reais. II. As matrizes no espaço das matrizes 2 x 3 reais. III. Os polinômios no espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2 com coeficientes reais. LD, LD, LD LI, LI, LI LI, LD, LI LI, LI, LD LD, LD, LI

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