Para resolver a integral tripla \(\iiint_V 64z \, dx \, dy \, dz\) na região \(V\) definida em coordenadas esféricas, precisamos primeiro entender as variáveis. As coordenadas esféricas são dadas por: - \(x = r \sin \phi \cos \theta\) - \(y = r \sin \phi \sin \theta\) - \(z = r \cos \phi\) A região \(V\) é definida por: - \(1 \leq r \leq 2\) - \(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}\) - \(0 \leq \phi \leq \frac{\pi}{4}\) O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por \(dV = r^2 \sin \phi \, dr \, d\phi \, d\theta\). Agora, substituímos \(z\) na integral: \[ z = r \cos \phi \] Portanto, a integral se torna: \[ \iiint_V 64z \, dV = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \int_1^2 64(r \cos \phi) (r^2 \sin \phi) \, dr \, d\phi \, d\theta \] Isso simplifica para: \[ 64 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \int_1^2 r^3 \cos \phi \sin \phi \, dr \, d\phi \, d\theta \] Calculando a integral em \(r\): \[ \int_1^2 r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_1^2 = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} \] Agora, substituímos na integral: \[ 64 \cdot \frac{15}{4} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos \phi \sin \phi \, d\phi \, d\theta \] A integral \(\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos \phi \sin \phi \, d\phi\) pode ser resolvida usando a substituição \(u = \sin \phi\): \[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos \phi \sin \phi \, d\phi = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin(2\phi) \, d\phi = \frac{1}{2} \left[-\frac{1}{2} \cos(2\phi)\right]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2} \left[-\frac{1}{2}(\cos(\frac{\pi}{2}) - \cos(0))\right] = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \] Agora, a integral em \(\theta\) é simples: \[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} d\theta = \frac{\pi}{4} \] Portanto, a integral total é: \[ 64 \cdot \frac{15}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi}{4} = 64 \cdot \frac{15\pi}{64} = 15\pi \] Assim, o valor da integral é \(15\pi\).