Grátis: 6) Considere os vetores v1 = (2, 1), v2 = (4, 3), v3 = (7,−3). a) Mostre que v1 e v2 formam uma base para R2. b) Por que os veotres v1, v2 e v3 tê...

Álgebra Linear

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6) Considere os vetores v1 = (2, 1), v2 = (4, 3), v3 = (7,−3).
a) Mostre que v1 e v2 formam uma base para R2.
b) Por que os veotres v1, v2 e v3 têm que ser linearmente dependentes?
c) Qual a dimensão de 〈{v1, v2, v3}〉?

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4) Determine se os vetores dados são ou não linearmente independentes em R3.
a) (1, 0, 0), (0, 1, 1), e (1, 0, 1).
b) (2, 1,−2), (3, 2,−2), e (2, 2, 0).

12) a) Seja M2×2 o espaço vetorial das matrizes com entradas em R. Mostre que M2×2 tem dimnesão 4.
b) Seja W1 o subconjunto de M2×2 formado pelas matrizes do tipo
(x -x
y z
)e W2 o conjunto das matrizes da forma
(a b
-a c
).Mostre que W1 e W2 são subespaços de M2×2, e encontre as dimensões de W1, W2, W1∩W2 e W1+W2.

16) Sejam V = R3, u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 2, 2) e u3 = (2, 3, 4).
a) Encontre a matriz de mudança de base da base canônica B = {e1, e2, e3} para B′ = {u1, u2, u3}.
b) Encontre as coordenadas de cada um dos vetores a seguir em relação a base B′:
(i)(3, 2, 5) (ii)(1, 1, 2) (iii)(2, 3, 2)
c) Sejam v1 = (4, 6, 7), v2 = (0, 1, 1) e v3 = (0, 1, 2). Encontre a matriz de mudança de base de B′′ = {v1, v2, v3} para B′ = {u1, u2, u3}.
d) Se v = 2v1 + 3v2− 4v3, determine as coordenadas de v em relação a base B′.

17) Sejam V = R3, u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 2, 2) e u3 = (2, 3, 4).
a) Encontre a matriz de mudança de base da base canônica B = {e1, e2, e3} para B′ = {u1, u2, u3}.
b) Encontre as coordenadas de cada um dos vetores a seguir em relação a base B′:
(i)(3, 2, 5) (ii)(1, 1, 2) (iii)(2, 3, 2)
c) Sejam v1 = (4, 6, 7), v2 = (0, 1, 1) e v3 = (0, 1, 2). Encontre a matriz de mudança de base de B′′ = {v1, v2, v3} para B′ = {u1, u2, u3}.
d) Se v = 2v1 + 3v2− 4v3, determine as coordenadas de v em relação a base B′.

18) Encontre a matriz de mudança de base em P2(x) da base B1 = {x2 + x + 1, x + 1, 1} para a base B2 = {2x2 − 1, x, 3}, e dê as coordenadas do vetor p(x) = 4x2 − 7x + 5 em relação às bases B1 e B2.

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4) Determine se os vetores dados são ou não linearmente independentes em R3.a) (1, 0, 0), (0, 1, 1), e (1, 0, 1).b) (2, 1,−2), (3, 2,−2), e (2, 2, 0).

18) Encontre a matriz de mudança de base em P2(x) da base B1 = {x2 + x + 1, x + 1, 1} para a base B2 = {2x2 − 1, x, 3}, e dê as coordenadas do vetor p(x) = 4x2 − 7x + 5 em relação às bases B1 e B2.

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4) Determine se os vetores dados são ou não linearmente independentes em R3.
a) (1, 0, 0), (0, 1, 1), e (1, 0, 1).
b) (2, 1,−2), (3, 2,−2), e (2, 2, 0).