GAAL - Lista 8

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Lista 8 - Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear
1) O vetor (3,−1, 0,−1) está no subespaço de R4 gerado pelos vetores
(2,−1, 3, 2), (−1, 1, 1,−3) e (1, 1, 9,−5)?
2) Determine se cada conjunto a seguir é ou não um conjunto gerador para
R2.
a) {(2, 1), (3, 2)}
b) {(2, 3), (4, 6)}
3) Sejam x = (2, 6, 6), x1 = (−1, 2, 3), x2 = (3, 4, 2). Então x pertence a
〈{x1, x2}〉?
4) Determine se os vetores dados são ou não linearmente independentes em
R3.
a) (1, 0, 0), (0, 1, 1), e (1, 0, 1).
b) (2, 1,−2), (3, 2,−2), e (2, 2, 0).
5) Determine se os vetores dados são ou não linearmente independentes em
P2(x).
a) 1, x2, x2 − 2.
b) 2, x2, x, 2x + 3.
c) x + 2, x2 − 1.
6) Considere os vetores v1 = (2, 1), v2 = (4, 3), v3 = (7,−3).
a) Mostre que v1 e v2 formam uma base para R2.
b) Por que os veotres v1, v2 e v3 têm que ser linearmente dependentes?
c) Qual a dimensão de 〈{v1, v2, v3}〉?
7)Considere os vetores v1 = (3,−2, 4), v2 = (−3, 2,−4), v3 = (−6, 4,−8).
Qual a dimensão de 〈{v1, v2, v3}〉?
8) Considere v1 = (2, 1, 3), v2 = (3,−1, 4), v3 = (2, 6, 4).
a) Mostre que v1, v2 e v3 são linearmente dependentes.
1
b) Mostre que v1 e v2 são linearmente independentes.
c) Qual a dimensão de 〈{v1, v2, v3}〉?
9) Encontre uma base para o subespaço S de R4 gerado pelos vetores da
forma (a + b, a − b + 2c, b, c), em que a, b e c são números reais. Qual a
dimensão de S?
10) Seja S o subespaço de P3 formado pelos polinômios da forma ax2 + bx+
2a + 3b. Encontre uma base para S.
11) Encontre a dimensão do subespaço de P3 gerado pelos vetores
a) x, x− 1, x2 + 1.
b) x, x− 1, x2 + 1, x2 − 1.
c) 2x, x− 2.
12) a) Seja M2×2 o espaço vetorial das matrizes com entradas em R. Mostre
que M2×2 tem dimnesão 4.
b) Seja W1 o subconjunto de M2×2 formado pelas matrizes do tipo
(
x −x
y z
)
e W2 o conjunto das matrizes da forma
(
a b
−a c
)
.Mostre que W1 e W2 são
subespaços de M2×2, e encontre as dimensões de W1, W2, W1∩W2 e W1+W2.
13) Considere o subconjunto S = {(1, 1, 1), (1, 2, 0)} de R3. O vetor (0, 0, 1)
está no espaço gerado por tais vetores? Complete o conjunto S para uma
base de R3.
14) Para os itens a seguir, encontre a matriz que corresponde à mudança
de base da base B′ = {u1, u2} para a base canônica B = {e1, e2} de R2,
bem como a matriz de mudança de base da base B = {e1, e2} para a base
B′ = {u1, u2}.
a) u1 = (1, 1), u2 = (−1, 1).
b) u1 = (1, 2), u2 = (2, 5).
15) Sejam v1 = (3, 2) e v2 = (4, 3). Para cada uma das bases {u1, u2} do
2
exerćıcio anterior, encontre a matriz de mudança de base de B′′ = {v1, v2}
para B′ = {u1, u2}.
16) Sejam V = R3, u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 2, 2) e u3 = (2, 3, 4).
a) Encontre a matriz de mudança de base da base canônica B = {e1, e2, e3}
para B′ = {u1, u2, u3}.
b) Encontre as coordenadas de cada um dos vetores a seguir em relação a
base B′:
(i)(3, 2, 5) (ii)(1, 1, 2) (iii)(2, 3, 2)
c) Sejam v1 = (4, 6, 7), v2 = (0, 1, 1) e v3 = (0, 1, 2). Encontre a matriz de
mudança de base de B′′ = {v1, v2, v3} para B′ = {u1, u2, u3}.
d) Se v = 2v1 + 3v2− 4v3, determine as coordenadas de v em relação a base
B′.
17) Sejam V = R3, u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 2, 2) e u3 = (2, 3, 4).
a) Encontre a matriz de mudança de base da base canônica B = {e1, e2, e3}
para B′ = {u1, u2, u3}.
b) Encontre as coordenadas de cada um dos vetores a seguir em relação a
base B′:
(i)(3, 2, 5) (ii)(1, 1, 2) (iii)(2, 3, 2)
c) Sejam v1 = (4, 6, 7), v2 = (0, 1, 1) e v3 = (0, 1, 2). Encontre a matriz de
mudança de base de B′′ = {v1, v2, v3} para B′ = {u1, u2, u3}.
d) Se v = 2v1 + 3v2− 4v3, determine as coordenadas de v em relação a base
B′.
18) Encontre a matriz de mudança de base em P2(x) da base B1 = {x2 +
x + 1, x + 1, 1} para a base B2 = {2x2 − 1, x, 3}, e dê as coordenadas do
vetor p(x) = 4x2 − 7x + 5 em relação às bases B1 e B2.
19) Em cada um dos itens a seguir, determine a dimensão do subespaço de
R3 gerado pelos vetores dados:
a) {(1,−2, 2), (2,−2, 4), (−3, 3, 6)}.
3
b) {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (2, 3, 1)}.
c) {(1,−1, 2), (−2, 2,−4), (3,−2, 5), (2,−1, 3)}.
20) Dê a dimensão do subespaço de M2×2 gerado pelo conjunto
S =
{(
1 3
0 −1
)
,
(
2 −1
1 0
)
,
(
0 0
2 1
)
,
(
1 1
−1 −2
)
,
(
2 1
1 −1
)}
4