Segunda Questão: Considere a função f(x, y) = x4 + y4 − 4xy + 1. (a) (1,0pt) Determine os pontos cŕıticos de f . (b) (1,5pt) Classifique os pontos cŕıticos de f . Resolução: Temos fx = 4x 3 − 4y fy = 4y3 − 4x fxx = 12x2 fxy = −4 fyy = 12y2 (a) Devemos resolver o sistema 4x3− 4y = 0, 4y3− 4x = 0. Obtemos x9− x = 0, de onde x = 0, x = 1 ou x = −1. Como y = x3, os pontos cŕıticos são (0, 0) , (1, 1) e (−1,−1) . (b) No ponto (0, 0) temos fxxfyy−f 2xy = 0×0−42 = −16 < 0. Logo, (0, 0) é ponto de sela. Nos pontos (1, 1) e (−1,−1) temos fxxfyy − f 2xy = 12 × 12 − 42 = 128 e também fxx = 12 > 0. Logo, (1, 1) e (−1,−1) são pontos de mı́nimo local.

Question

Segunda Questão: Considere a função f(x, y) = x4 + y4 − 4xy + 1. (a) (1,0pt) Determine os pontos cŕıticos de f . (b) (1,5pt) Classifique os pon...

Ed · Answer

Para determinar os pontos críticos da função $ f(x, y) = x^4 + y^4 - 4xy + 1 $, precisamos encontrar onde as derivadas parciais são iguais a zero. As derivadas parciais são dadas por:

$ f_x = 4x^3 - 4y $

$ f_y = 4y^3 - 4x $

Igualando a zero, temos:

Para $ f_x $: $ 4x^3 - 4y = 0 $  
Para $ f_y $: $ 4y^3 - 4x = 0 $

Resolvendo o sistema de equações, obtemos $ x = 0, x = 1 $ ou $ x = -1 $. Como $ y = x^3 $, os pontos críticos são (0, 0), (1, 1) e (-1, -1).

Para classificar os pontos críticos, podemos utilizar a segunda derivada. Calculando as segundas derivadas:

$ f_{xx} = 12x^2 $  
$ f_{xy} = -4 $  
$ f_{yy} = 12y^2 $

No ponto (0, 0), temos $ f_{xx} \cdot f_{yy} - f_{xy}^2 = 0 \cdot 0 - 4^2 = -16  0, e \( f_{xx} = 12 > 0 $, o que indica que são pontos de mínimo local.

Portanto, a classificação dos pontos críticos é:
- (0, 0) é um ponto de sela.
- (1, 1) e (-1, -1) são pontos de mínimo local.

Cálculo

Cálculo 2 - Prova 2017.2 final com gabarito

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