Terceira Questão: Considere a função f(x, y) = 200e−x 2−3y2 , e o ponto P (2,−1). (a) (1,5pt) Qual a taxa de variação de f , por unidade de comprimento, ao nos deslo- carmos em linha reta do ponto P ao ponto Q(3,−3), quando estivermos em P? (b) (0,5pt) Qual a direção (vetor unitário) de maior crescimento de f no ponto P? (c) (0,5pt) Qual a taxa máxima de variação (por unidade de comprimento) de f no ponto P? Resolução: Temos fx = −400xe−x 2−3y2 fy = −1200ye−x 2−3y2 ∇f = −400e−x2−3y2〈x, 3y〉 fx(P ) = −800e−7 fy(P ) = 1200e−7 ∇f(P ) = 400e−7〈−2, 3〉 (a) Como −→ QP = 〈1,−2〉, o vetor unitário no sentido do deslocamento é ????v = 〈1,−2〉/ √ 5. A taxa de variação pedida é ∂f ∂????v = ∇f(P ) · ????v = 400e −7 √ 5 × (−2× 1 + 3× (−2)) = −3200e −7 √ 5 (b) A direção pedida é dada pelo vetor unitário no sentido do gradiente, ou seja, 〈−2, 3〉√ 13 . (c) A taxa máxima pedida é igual à norma do gradiente em P , ou seja, 400e−7 √ 13 .