Para determinar as trajetórias ortogonais a uma família de curvas dada pela equação \(y = Ce^{-x}\), primeiro precisamos encontrar a equação diferencial que representa essa família de curvas. A derivada da função \(y = Ce^{-x}\) em relação a \(x\) é \(\frac{dy}{dx} = -Ce^{-x}\). A equação diferencial das trajetórias ortogonais é dada pela relação \(\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\frac{dx}{dy}}\), onde \(\frac{dx}{dy}\) é a derivada da função que representa as trajetórias ortogonais em relação a \(y\). Resolvendo essa equação diferencial, obtemos \(\frac{dx}{dy} = -\frac{1}{-Ce^{-x}} = \frac{1}{Ce^{-x}} = \frac{e^x}{C}\). Integrando em relação a \(y\), obtemos \(x = \frac{e^y}{C} + K\), onde \(K\) é a constante de integração. Portanto, a equação das trajetórias ortogonais é \(x = \frac{e^y}{C} + K\), que pode ser reescrita como \(e^y = C(x - K)\). Analisando as opções fornecidas: a) \(y - 2x = K\) - Não representa a equação das trajetórias ortogonais. b) \(x^2 - 2y = K\) - Não representa a equação das trajetórias ortogonais. c) \(y^2 + 2x = K\) - Não representa a equação das trajetórias ortogonais. d) \(y^2 - 2x = K\) - Não representa a equação das trajetórias ortogonais. e) \(2y^2 - x = K\) - Não representa a equação das trajetórias ortogonais. Portanto, a alternativa correta que representa a equação das trajetórias ortogonais é: \(e^y = C(x - K)\).