Qual é a integral de 1/(x √(x^2 - 1))? a) sec^(-1)(x) + C b) ln|x + √(x^2 - 1)| + C c) arctan(x) + C d) ln|x - √(x^2 - 1)| + C

Para resolver essa integral, podemos fazer a substituição trigonométrica \(x = \sec(u)\). Assim, \(dx = \sec(u) \tan(u) du\) e \(\sqrt{x^2 - 1} = \tan(u)\). Substituindo na integral dada, temos: \[\int \frac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}} dx = \int \frac{1}{\sec(u) \tan(u) \tan(u)} \sec(u) \tan(u) du\] \[\int \frac{1}{\tan^2(u)} du = \int \csc^2(u) du = -\cot(u) + C\] Como \(x = \sec(u)\), temos que \(\cot(u) = \cos(u)/\sin(u) = \sqrt{x^2 - 1}/1 = \sqrt{x^2 - 1}\). Portanto, a integral de \(\frac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}}\) é \(-\sqrt{x^2 - 1} + C\), que corresponde à alternativa d) ln|x - √(x^2 - 1)| + C.