6. (Utfpr 2014) O conjunto solução S da equação x 3 x 3,   é: a)  S 6 . b)  S 1, 6 . c)  S 3 . d) S .  e)  S 4 .

Vamos resolver a equação \( x^3 + 3x = -6 \). Primeiro, podemos rearranjar a equação para que fique igual a zero: \[ x^3 + 3x + 6 = 0 \] Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação. Podemos tentar valores inteiros para ver se algum deles é uma raiz. Testando \( x = -1 \): \[ (-1)^3 + 3(-1) + 6 = -1 - 3 + 6 = 2 \quad (\text{não é raiz}) \] Testando \( x = 0 \): \[ 0^3 + 3(0) + 6 = 6 \quad (\text{não é raiz}) \] Testando \( x = 1 \): \[ 1^3 + 3(1) + 6 = 1 + 3 + 6 = 10 \quad (\text{não é raiz}) \] Testando \( x = 2 \): \[ 2^3 + 3(2) + 6 = 8 + 6 + 6 = 20 \quad (\text{não é raiz}) \] Testando \( x = -2 \): \[ (-2)^3 + 3(-2) + 6 = -8 - 6 + 6 = -8 \quad (\text{não é raiz}) \] Testando \( x = -3 \): \[ (-3)^3 + 3(-3) + 6 = -27 - 9 + 6 = -30 \quad (\text{não é raiz}) \] Testando \( x = -4 \): \[ (-4)^3 + 3(-4) + 6 = -64 - 12 + 6 = -70 \quad (\text{não é raiz}) \] Testando \( x = -6 \): \[ (-6)^3 + 3(-6) + 6 = -216 - 18 + 6 = -228 \quad (\text{não é raiz}) \] Parece que não encontramos raízes inteiras simples. Para resolver essa equação, podemos usar métodos numéricos ou gráficos, mas como estamos buscando uma solução exata, vamos considerar que a equação não possui raízes reais. Assim, o conjunto solução \( S \) é o conjunto vazio. Portanto, a alternativa correta é: d) \( S = \emptyset \).