Determine a integral ∫ (x³)/(√(x⁴ + 1)) dx. a) (1/3)√(x⁴ + 1) + C b) (1/2)√(x⁴ + 1) + C c) (1/4)√(x⁴ + 1) + C d) (1/5)√(x⁴ + 1) + C

Para resolver essa integral, podemos fazer a substituição trigonométrica \(u = x²\), e então \(du = 2x dx\), o que nos leva a \(x dx = \frac{1}{2} du\). Assim, a integral dada se torna: \[ \int \frac{x³}{\sqrt{x⁴ + 1}} dx = \int \frac{1}{2} \frac{u^\frac{3}{2}}{\sqrt{u + 1}} du \] Podemos simplificar a expressão dentro da integral: \[ \int \frac{1}{2} \frac{u^\frac{3}{2}}{\sqrt{u + 1}} du = \frac{1}{2} \int \frac{u^\frac{3}{2}}{\sqrt{u + 1}} du \] Agora, podemos fazer uma nova substituição, \(v = u + 1\), o que nos leva a \(u = v - 1\) e \(du = dv\). Assim, a integral se torna: \[ \frac{1}{2} \int \frac{(v - 1)^\frac{3}{2}}{\sqrt{v}} dv \] Expandindo o numerador e simplificando, obtemos: \[ \frac{1}{2} \int \left( v^\frac{3}{2} - 3v + 3v^\frac{1}{2} - v^\frac{-1}{2} \right) dv \] Integrando termo a termo, obtemos: \[ \frac{1}{2} \left( \frac{2}{5}v^\frac{5}{2} - \frac{3}{2}v² + 2v^\frac{3}{2} - 2v^\frac{1}{2} \right) + C \] Substituindo de volta \(v = u + 1\) e \(u = x²\), chegamos à resposta final: \[ \frac{1}{5} (x⁴ + 1)^\frac{1}{2} - \frac{3}{4}x² + x²√(x²) + C \] Portanto, a alternativa correta é: d) \((1/5)√(x⁴ + 1) + C\)