Para encontrar a série de Taylor de \( e^x \cos(x) \) em torno de \( x=0 \), podemos usar a propriedade de que a série de Taylor do produto de duas funções é o produto das séries de Taylor das funções individuais. A série de Taylor de \( e^x \) em torno de \( x=0 \) é dada por \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \). A série de Taylor de \( \cos(x) \) em torno de \( x=0 \) é dada por \( \cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} \). Multiplicando essas duas séries termo a termo, obtemos a série de Taylor de \( e^x \cos(x) \) em torno de \( x=0 \). Analisando as opções: a) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \left( \cos x - \frac{x \sin x}{n} \right) \) - Esta opção não representa corretamente a série de Taylor de \( e^x \cos(x) \). b) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \left( \cos x + \frac{x \sin x}{n} \right) \) - Esta opção também não representa corretamente a série de Taylor de \( e^x \cos(x) \). c) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \left( \cos x - \frac{x \sin x}{n+1} \right) \) - Esta opção representa corretamente a série de Taylor de \( e^x \cos(x) \) em torno de \( x=0 \). Portanto, a alternativa correta é: c) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \left( \cos x - \frac{x \sin x}{n+1} \right) \).