Para calcular a integral dada \(\int x \cdot e^{3x} dx\), é necessário utilizar a integração por partes. A fórmula da integração por partes é dada por \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\), onde \(u\) e \(v\) são funções de \(x\) que devem ser escolhidas de forma adequada. Neste caso, podemos escolher \(u = x\) e \(dv = e^{3x} dx\). Assim, temos \(du = dx\) e \(v = \frac{1}{3}e^{3x}\). Aplicando a fórmula da integração por partes, temos: \[ \begin{aligned} \int x \cdot e^{3x} dx & = x \cdot \frac{1}{3}e^{3x} - \int \frac{1}{3}e^{3x} dx \\ & = \frac{1}{3}xe^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x} + C \\ & = \frac{1}{3}e^{3x}(x - \frac{1}{3}) + C. \end{aligned} \] Portanto, a alternativa correta é: C) \(\frac{1}{3}e^{3x} + C\).