Qual é o valor de a3-b3, sabendo que a-b=3 e ab2-a2b=-12

Para resolver a questão, vamos usar as informações dadas: 1. \( a - b = 3 \) (equação 1) 2. \( ab^2 - a^2b = -12 \) (equação 2) Vamos simplificar a equação 2: \[ ab^2 - a^2b = b(ab - a^2) = -12 \] Podemos fatorar \( ab - a^2 \) como \( a(b - a) \): \[ b(a(b - a)) = -12 \] Substituindo \( b - a = -3 \) (da equação 1, já que \( b = a - 3 \)): \[ b(a(-3)) = -12 \] Isso se torna: \[ -3ab = -12 \implies ab = 4 \] Agora temos um sistema de duas equações: 1. \( a - b = 3 \) 2. \( ab = 4 \) Podemos expressar \( b \) em termos de \( a \): \[ b = a - 3 \] Substituindo na equação \( ab = 4 \): \[ a(a - 3) = 4 \] Isso se torna: \[ a^2 - 3a - 4 = 0 \] Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara: \[ a = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} \] \[ a = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} \] \[ a = \frac{3 \pm 5}{2} \] As soluções para \( a \) são: 1. \( a = 4 \) (então \( b = 1 \)) 2. \( a = -1 \) (então \( b = -4 \)) Agora, precisamos calcular \( a^3 - b^3 \): Usando a identidade \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \): Sabemos que \( a - b = 3 \) e precisamos calcular \( a^2 + ab + b^2 \): Para \( a = 4 \) e \( b = 1 \): \[ a^2 + ab + b^2 = 4^2 + 4 \cdot 1 + 1^2 = 16 + 4 + 1 = 21 \] Portanto: \[ a^3 - b^3 = 3 \cdot 21 = 63 \] Para \( a = -1 \) e \( b = -4 \): \[ a^2 + ab + b^2 = (-1)^2 + (-1)(-4) + (-4)^2 = 1 + 4 + 16 = 21 \] Assim, \( a^3 - b^3 = 3 \cdot 21 = 63 \) novamente. Portanto, o valor de \( a^3 - b^3 \) é 63.