Dadas as funções f(x) = 2x – 1 e g(x) = x² + 3x + c, o maior valor inteiro de c tal que a equação g(f(x)) = 0 apresente raízes reais é

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4

Question

Dadas as funções f(x) = 2x – 1 e g(x) = x² + 3x + c, o maior valor inteiro de c tal que a equação g(f(x)) = 0 apresente raízes reais é

a) 1
b) 2
c...

Ed · Answer

Para resolver a questão, precisamos primeiro encontrar a composição das funções $ g(f(x)) $.

1. **Encontrar $ f(x) $**:
   $$
   f(x) = 2x - 1
   $$

2. **Substituir $ f(x) $ em $ g(x) $**:
   $$
   g(f(x)) = g(2x - 1) = (2x - 1)^2 + 3(2x - 1) + c
   $$

3. **Expandir $ g(f(x)) $**:
   $$
   g(f(x)) = (2x - 1)^2 + 6x - 3 + c
   $$
   $$
   = 4x^2 - 4x + 1 + 6x - 3 + c
   $$
   $$
   = 4x^2 + 2x + (c - 2)
   $$

4. **Para que a equação $ g(f(x)) = 0 $ tenha raízes reais, o discriminante deve ser maior ou igual a zero**:
   O discriminante $ \Delta $ da equação $ 4x^2 + 2x + (c - 2) = 0 $ é dado por:
   $$
   \Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 4 \cdot (c - 2)
   $$
   $$
   = 4 - 16(c - 2)
   $$
   $$
   = 4 - 16c + 32
   $$
   $$
   = 36 - 16c
   $$

5. **Para que haja raízes reais, precisamos que $ \Delta \geq 0 $**:
   $$
   36 - 16c \geq 0
   $$
   $$
   36 \geq 16c
   $$
   $$
   c \leq \frac{36}{16} = 2.25
   $$

O maior valor inteiro de $ c $ que satisfaz essa condição é $ c = 2 $.

Portanto, a alternativa correta é: **b) 2**.

Ed · Answer

Para resolver essa questão, precisamos substituir as funções dadas na equação $g(f(x)) = 0$ e encontrar o maior valor inteiro de $c$ que faz com que a equação tenha raízes reais.

Dadas as funções $f(x) = 2x - 1$ e $g(x) = x² + 3x + c$, vamos substituir $f(x)$ em $g(x)$:

$g(f(x)) = (2x - 1)² + 3(2x - 1) + c$

Expandindo e simplificando, temos:

$g(f(x)) = 4x² - 4x + 1 + 6x - 3 + c$

$g(f(x)) = 4x² + 2x - 2 + c$

Agora, queremos encontrar o maior valor inteiro de $c$ para o qual a equação $4x² + 2x - 2 + c = 0$ apresente raízes reais.

Para que a equação tenha raízes reais, o discriminante deve ser maior ou igual a zero. O discriminante da equação quadrática $ax² + bx + c = 0$ é dado por $\Delta = b² - 4ac$.

Neste caso, temos $a = 4$, $b = 2$ e $c = -2 + c$. Substituindo na fórmula do discriminante, temos:

$\Delta = 2² - 4*4*(-2 + c)$

$\Delta = 4 + 32 + 16c$

$\Delta = 36 + 16c$

Para que a equação tenha raízes reais, $\Delta \geq 0$:

$36 + 16c \geq 0$

$16c \geq -36$

$c \geq -\frac{36}{16}$

$c \geq -2,25$

Como $c$ deve ser um valor inteiro, o maior valor inteiro de $c$ que faz com que a equação tenha raízes reais é $c = -2$.

Portanto, a alternativa correta é: d) -2.

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1. Sejam as funções f(x) = 2x – 4 e g(x) = x + 5. A raiz da função composta f(g(x)) é igual a
f(g(x)) = 2 . g(x) – 4
f(g(x)) = 2 . (x + 5) – 4
f(g(x)) = 2x + 10 – 4
f(g(x)) = 2x + 6
a) – 3
b) – 1
c) 2
d) 4

3. Dada a função f(x) = 3x – 2 e g(x) = , então g(f(-1)) é:
g(f(x)) =
g(f(x)) =
g(f(-1)) =
g(f(-1)) = = 1
a) - 1
b) 0
c) 1
d) 5

6. Se f(x) = 3x – 4 e f(g(x)) = x + 4, então g(1) vale:
f(g(x)) = 3 . g(x) – 4
f(g(x)) = 3 . g(x) – 4
f(g(x)) = x + 8
g(1) = = = 3
a) – 2
b) 0
c) 1
d) 3
e) 5

7. Para função f(x) = 5x + 3 e um número b, tem-se que f(f(b)) = - 2. O valor de b é:
f(f(x)) = 5 . (5x + 3) + 3
f(f(x)) = 25x + 15 + 3
f(f(x)) = 25x + 18
f(f(b)) = 25b + 18 = - 2
a) – 1
b) – 4/5
c) – 17/25
d) – 1/5

9. Se f e g são funções reais tais que f(x) = 2x – 2 e f(g(x)) = x + 2, para todo x ∈ R, então g(f(2)) é igual a:
f(2) = 2 . 2 – 2 = 4 – 2 = 2
g(f(2)) = = = 3
a) 4
b) 1
c) 0
d) 2
e) 3

10. Se f e g são funções de R em R tais que f(x) = 2x – 1 e f(g(x)) = x² - 1, então g(x) é igual a
f(g(x)) = 2 . g(x) – 1
x² - 1 = 2 . g(x)
g(x) = x²/2
a) 2x² + 1
b) (x/2) – 1
c) x²/2
d) x + 1
e) x + (1/2)

A função f é tal que, para qualquer valor real de x, tem-se f(x - 3) = 2x + 5. É verdade que para qualquer valor de x tem-se

a) f(x) = 2x + 11
b) f(x) = 2x + 10
c) f(x) = x - 11
d) f(x) = x - 10
e) f(x) = 3x - 9

Se a função f : R – {2}  R é definida por f(x) = e a função g : R – {2}  R é definida por g(x) = f(f(x)) então g(x) é igual a

a)
b) x²
c) 2x
d) 2x + 3
e) x

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1. Sejam as funções f(x) = 2x – 4 e g(x) = x + 5. A raiz da função composta f(g(x)) é igual af(g(x)) = 2 . g(x) – 4f(g(x)) = 2 . (x + 5) – 4f(g(x)) = 2x + 10 – 4f(g(x)) = 2x + 6a) – 3b) – 1c) 2d) 4

3. Dada a função f(x) = 3x – 2 e g(x) = , então g(f(-1)) é:g(f(x)) = g(f(x)) = g(f(-1)) = g(f(-1)) = = 1a) - 1b) 0c) 1d) 5

6. Se f(x) = 3x – 4 e f(g(x)) = x + 4, então g(1) vale:f(g(x)) = 3 . g(x) – 4f(g(x)) = 3 . g(x) – 4f(g(x)) = x + 8g(1) = = = 3a) – 2b) 0c) 1d) 3e) 5

7. Para função f(x) = 5x + 3 e um número b, tem-se que f(f(b)) = - 2. O valor de b é:f(f(x)) = 5 . (5x + 3) + 3f(f(x)) = 25x + 15 + 3f(f(x)) = 25x + 18f(f(b)) = 25b + 18 = - 2a) – 1b) – 4/5c) – 17/25d) – 1/5

9. Se f e g são funções reais tais que f(x) = 2x – 2 e f(g(x)) = x + 2, para todo x ∈ R, então g(f(2)) é igual a:f(2) = 2 . 2 – 2 = 4 – 2 = 2g(f(2)) = = = 3a) 4b) 1c) 0d) 2e) 3

10. Se f e g são funções de R em R tais que f(x) = 2x – 1 e f(g(x)) = x² - 1, então g(x) é igual af(g(x)) = 2 . g(x) – 1x² - 1 = 2 . g(x)g(x) = x²/2a) 2x² + 1b) (x/2) – 1c) x²/2d) x + 1e) x + (1/2)

A função f é tal que, para qualquer valor real de x, tem-se f(x - 3) = 2x + 5. É verdade que para qualquer valor de x tem-sea) f(x) = 2x + 11b) f(x) = 2x + 10c) f(x) = x - 11d) f(x) = x - 10e) f(x) = 3x - 9

Se a função f : R – {2}  R é definida por f(x) = e a função g : R – {2}  R é definida por g(x) = f(f(x)) então g(x) é igual aa)b) x²c) 2xd) 2x + 3e) x

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1. Sejam as funções f(x) = 2x – 4 e g(x) = x + 5. A raiz da função composta f(g(x)) é igual a
f(g(x)) = 2 . g(x) – 4
f(g(x)) = 2 . (x + 5) – 4
f(g(x)) = 2x + 10 – 4
f(g(x)) = 2x + 6
a) – 3
b) – 1
c) 2
d) 4

3. Dada a função f(x) = 3x – 2 e g(x) = , então g(f(-1)) é:
g(f(x)) =
g(f(x)) =
g(f(-1)) =
g(f(-1)) = = 1
a) - 1
b) 0
c) 1
d) 5

6. Se f(x) = 3x – 4 e f(g(x)) = x + 4, então g(1) vale:
f(g(x)) = 3 . g(x) – 4
f(g(x)) = 3 . g(x) – 4
f(g(x)) = x + 8
g(1) = = = 3
a) – 2
b) 0
c) 1
d) 3
e) 5

7. Para função f(x) = 5x + 3 e um número b, tem-se que f(f(b)) = - 2. O valor de b é:
f(f(x)) = 5 . (5x + 3) + 3
f(f(x)) = 25x + 15 + 3
f(f(x)) = 25x + 18
f(f(b)) = 25b + 18 = - 2
a) – 1
b) – 4/5
c) – 17/25
d) – 1/5

9. Se f e g são funções reais tais que f(x) = 2x – 2 e f(g(x)) = x + 2, para todo x ∈ R, então g(f(2)) é igual a:
f(2) = 2 . 2 – 2 = 4 – 2 = 2
g(f(2)) = = = 3
a) 4
b) 1
c) 0
d) 2
e) 3

10. Se f e g são funções de R em R tais que f(x) = 2x – 1 e f(g(x)) = x² - 1, então g(x) é igual a
f(g(x)) = 2 . g(x) – 1
x² - 1 = 2 . g(x)
g(x) = x²/2
a) 2x² + 1
b) (x/2) – 1
c) x²/2
d) x + 1
e) x + (1/2)

A função f é tal que, para qualquer valor real de x, tem-se f(x - 3) = 2x + 5. É verdade que para qualquer valor de x tem-se

a) f(x) = 2x + 11
b) f(x) = 2x + 10
c) f(x) = x - 11
d) f(x) = x - 10
e) f(x) = 3x - 9

Se a função f : R – {2}  R é definida por f(x) = e a função g : R – {2}  R é definida por g(x) = f(f(x)) então g(x) é igual a

a)
b) x²
c) 2x
d) 2x + 3
e) x