Grátis: 9. Dadas uma reta t e uma circunferência λ, verifiquem a posição relativa de t e λ. Se houver pontos comuns (tangente ou secante), determinem es...

Geometria Analítica

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9. Dadas uma reta t e uma circunferência λ, verifiquem a posição relativa de t e λ. Se houver pontos comuns (tangente ou secante), determinem esses pontos.
(a) t : 2x− y + 1 = 0 e λ : x2 + y2 − 2x = 0
(b) t : y = x e λ : x2 + y2 + 2x− 4y − 4 = 0
(c) t : x+ y − 2 = 0 e λ : x2 + y2 − 4x− 4y + 6 = 0

Resposta: (a) exterior à circunferência; (b) secante, (2, 2) e (−1,−1); (c) tangente, (1, 1)

Praticando Para Aprender

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Para determinar a posição relativa entre uma reta e uma circunferência, é necessário analisar a equação da reta e da circunferência para identificar se são secantes, tangentes ou exteriores. Analisando as opções: a) t : 2x - y + 1 = 0 e λ : x² + y² - 2x = 0 Para essa opção, a reta t não intercepta a circunferência λ, portanto, está exterior à circunferência. b) t : y = x e λ : x² + y² + 2x - 4y - 4 = 0 Neste caso, a reta t é secante à circunferência λ nos pontos (2, 2) e (-1, -1). c) t : x + y - 2 = 0 e λ : x² + y² - 4x - 4y + 6 = 0 Para essa opção, a reta t é tangente à circunferência λ no ponto (1, 1). Portanto, a resposta correta é: (a) exterior à circunferência; (b) secante, (2, 2) e (-1, -1); (c) tangente, (1, 1).

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3. Em certa cidade, foi decretado o rod́ızio de carros como forma de reduzir os congestionamentos e a emissão de poluentes. Ficou estabelecido que a limitação ao uso dos carros ficaria restrita à região formada pelas vias que distassem até 8 quilômetros do marco zero da cidade. Vamos representar essa cidade em um sistema de coordenadas cartesianas cuja origem é o marco zero da cidade, a unidade de medida de comprimento usada é o cent́ımetro e a escala é de 1 : 20 000 (1 cm no sistema cartesiano equivale a 20000 cm na cidade). A região de abrangência do rod́ızio é limitada por uma circunferência. Determine, nesse sistema de coordenadas,
a) a equação dessa circunferência;
b) a área da região de abrangência do rod́ızio.

Resposta: (a) x2 + y2 = 1600 (b) 1600π cm2 (no sistema de coordenadas) ou 64π km2 (valor real)

5. (FEI-SP) Quais são o centro e o raio da circunferência de equação x2 + y2 = 2(x− y) + 1?

Resposta: (a) C(1,−1) e r = √3

6. (PUC-SP) O ponto P (3, b) pertence à circunferência de centro no ponto C(0, 3) e raio 5. Calcule o valor da coordenada b.

Resposta: b = 7 ou b = −1

8. (Vunesp-SP) Considere o quadrado de lados paralelos aos eixos coordenados e circunscrito à circunferência de equação x2 + y2 − 6x − 4y + 12 = 0. Determinem as equações das retas que contêm as diagonais desse quadrado.

Resposta: x− y − 1 = 0 e x+ y − 5 = 0

10. A reta t de equação x+ y− 3 = 0 e a circunferência de equação (x+2)2+(y− 1)2 = 10 são secantes nos pontos A e B. Determine a área do triângulo cujos vértices são o centro da circunferência e os pontos A e B.

Resposta: S = 4. Obs: os pontos são A(1, 2) e B(−1, 4)

13. (UFSM-RS) As retas r e s tangenciam a circunferência de equação x2+y2−4x+3 = 0, respectivamente, nos pontos P e Q e passam pelo ponto O(0, 0), origem do sistema. A medida do ângulo PÔQ vale:
a) 15◦ b) 30◦ c) 45◦ d) 60◦ e) 90◦

Resposta: d)

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Resposta: b = 7 ou b = −1

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Resposta: x− y − 1 = 0 e x+ y − 5 = 0

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Resposta: S = 4. Obs: os pontos são A(1, 2) e B(−1, 4)

13. (UFSM-RS) As retas r e s tangenciam a circunferência de equação x2+y2−4x+3 = 0, respectivamente, nos pontos P e Q e passam pelo ponto O(0, 0), origem do sistema. A medida do ângulo PÔQ vale:
a) 15◦ b) 30◦ c) 45◦ d) 60◦ e) 90◦

Resposta: d)