Para determinar a curvatura da curva parametrizada \( \alpha(s) = (5 + 4 \cos(s/4), 3 + 4 \sin(s/4)) \), precisamos seguir alguns passos. 1. Encontrar as derivadas: - A primeira derivada \( \alpha'(s) \) é dada por: \[ \alpha'(s) = \left(-\frac{4}{4} \sin\left(\frac{s}{4}\right), \frac{4}{4} \cos\left(\frac{s}{4}\right)\right) = (-\sin\left(\frac{s}{4}\right), \cos\left(\frac{s}{4}\right)) \] - A segunda derivada \( \alpha''(s) \) é: \[ \alpha''(s) = \left(-\frac{1}{4} \cos\left(\frac{s}{4}\right), -\frac{1}{4} \sin\left(\frac{s}{4}\right)\right) \] 2. Calcular a curvatura: A fórmula da curvatura \( \kappa(s) \) é dada por: \[ \kappa(s) = \frac{| \alpha'(s) \times \alpha''(s) |}{|\alpha'(s)|^3} \] Para calcular \( | \alpha'(s) | \): \[ |\alpha'(s)| = \sqrt{(-\sin\left(\frac{s}{4}\right))^2 + (\cos\left(\frac{s}{4}\right))^2} = 1 \] Agora, substituindo na fórmula da curvatura, e considerando que o produto vetorial em duas dimensões é dado por: \[ | \alpha'(s) \times \alpha''(s) | = |x' y'' - y' x''| \] Substituindo os valores: \[ x' = -\sin\left(\frac{s}{4}\right), \quad y' = \cos\left(\frac{s}{4}\right) \] \[ x'' = -\frac{1}{4} \cos\left(\frac{s}{4}\right), \quad y'' = -\frac{1}{4} \sin\left(\frac{s}{4}\right) \] Portanto: \[ | \alpha'(s) \times \alpha''(s) | = -\sin\left(\frac{s}{4}\right) \left(-\frac{1}{4} \sin\left(\frac{s}{4}\right)\right) + \cos\left(\frac{s}{4}\right) \left(-\frac{1}{4} \cos\left(\frac{s}{4}\right)\right) \] \[ = \frac{1}{4}(\sin^2\left(\frac{s}{4}\right) + \cos^2\left(\frac{s}{4}\right)) = \frac{1}{4} \] Assim, a curvatura é: \[ \kappa(s) = \frac{\frac{1}{4}}{1^3} = \frac{1}{4} \] Portanto, a alternativa correta é: C) \( \frac{1}{4} \).