Grátis: 8. Sabendo-se que ||u⃗|| = 6, ||v⃗|| = 4 e 30◦ é o ângulo entre os vetores u⃗ e v⃗, determinar: (a) a área do triângulo determinado por u⃗ e v⃗; (...

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8. Sabendo-se que ||u⃗|| = 6, ||v⃗|| = 4 e 30◦ é o ângulo entre os vetores u⃗ e v⃗, determinar:

(a) a área do triângulo determinado por u⃗ e v⃗;
(b) a área do paralelogramo determinado por u⃗ e −v⃗;
(c) a área do paralelogramo determinado por u⃗+ v⃗ e u⃗− v⃗.

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Para calcular a área do triângulo formado pelos vetores \( \vec{u} \) e \( \vec{v} \), podemos usar a fórmula: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \sin(\theta) \] onde \( ||\vec{u}|| = 6 \), \( ||\vec{v}|| = 4 \) e \( \theta = 30^\circ \). Primeiro, precisamos calcular \( \sin(30^\circ) \), que é \( \frac{1}{2} \). Agora, substituindo os valores na fórmula: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} \] \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot 0,5 = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \] Portanto, a área do triângulo determinado por \( \vec{u} \) e \( \vec{v} \) é 6. Se precisar de mais informações sobre as outras partes da questão, você tem que criar uma nova pergunta.

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1. Considerando os vetores u⃗ = (1,−1, 2), v⃗ = (2, 3, 1) e w⃗ = (1, 2,−1), determine o que se pede:

a) (2v⃗)× (3v⃗)
b) (u⃗− v⃗)× w⃗
c) u⃗× (v⃗ × w⃗)
d) u⃗× (v⃗ × w⃗)
e) (u⃗× v⃗) · w⃗
f) u⃗ · (v⃗ × w⃗)
g) u⃗× (v⃗ + w⃗)

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a) (2v⃗)× (3v⃗)
b) (u⃗− v⃗)× w⃗
c) u⃗× (v⃗ × w⃗)
d) u⃗× (v⃗ × w⃗)
e) (u⃗× v⃗) · w⃗
f) u⃗ · (v⃗ × w⃗)
g) u⃗× (v⃗ + w⃗)

2. Obtenha um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos: A = (1, 2,−1), B = (1,−1, 1) e C = (3, 0, 2)

3. Dados os pontos A = (2, 1, 3), B = (3,−1, 1) e C = (2,−1, 3), determinar o ponto D tal que: −−→ AD = −−→ BC ×−→ AC.

4. Calcular a distância do ponto P = (4, 3, 3) à reta que passa pelos pontos A = (1, 2,−1) e B = (3, 1, 1).

5. Calcular a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC, considerando os pontos: A = (4, 2, 1), B = (1, 0, 1) e C = (1, 2, 0).

6. Determine a área do paralelogramo cujos lados são determinados pelos vetores u⃗ = (3, 2, 2) e v⃗ = (0, 1, 1).

7. Calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores u⃗ e v⃗, sabendo-se que u⃗+ v⃗ = (−1, 3, 4) e u⃗− v⃗ = (1,−1, 2).

9. Dados os vetores u⃗ = (3, 1, 1), v⃗ = (−4, 1, 3) e w⃗ = (1, 2, 0), determine o vetor x⃗ de forma que x⃗ ⊥ w⃗ e x⃗× u⃗ = v⃗.

10. Sabendo que os pontos A = (4, 0, 0), B = (0, 0, 2), C = (0, 3, 0) e D = (4, 3,−2) são coplanares, calcule a área do quadrilátero ABCD.

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b) (u⃗− v⃗)× w⃗
c) u⃗× (v⃗ × w⃗)
d) u⃗× (v⃗ × w⃗)
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f) u⃗ · (v⃗ × w⃗)
g) u⃗× (v⃗ + w⃗)