Vamos analisar a função \( f(x, y) = x^2 + xy + 3x + 2y + 3 \) e determinar os pontos críticos e suas naturezas. 1. Encontrar os pontos críticos: - Calculamos as derivadas parciais: - \( f_x = 2x + y + 3 \) - \( f_y = x + 2 \) - Igualamos as derivadas a zero: - \( 2x + y + 3 = 0 \) (1) - \( x + 2 = 0 \) (2) - Da equação (2), temos \( x = -2 \). Substituindo na equação (1): - \( 2(-2) + y + 3 = 0 \) - \( -4 + y + 3 = 0 \) - \( y = 1 \) Portanto, o ponto crítico é \( (-2, 1) \). 2. Classificar o ponto crítico: - Calculamos as segundas derivadas: - \( f_{xx} = 2 \) - \( f_{yy} = 0 \) - \( f_{xy} = 1 \) - Calculamos o determinante da matriz Hessiana: - \( D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2 = 2 \cdot 0 - 1^2 = -1 \) Como \( D < 0 \), o ponto \( (-2, 1) \) é um ponto de sela. Agora, vamos analisar as alternativas: I. O único ponto crítico de \( f \) é \( (1, -2) \) e esse é um ponto de sela. FALSO (o ponto crítico é \( (-2, 1) \)). II. O único ponto crítico de \( f \) é \( (1, -2) \) e esse é um ponto de máximo. FALSO. III. O ponto crítico de \( f \) é \( (1, -2) \) e esse é um ponto de mínimo. FALSO. IV. Os pontos críticos de \( f \) são \( (1, -2) \) e \( (0,0) \); o primeiro é um ponto de sela e o segundo é um ponto de máximo. FALSO. V. Os pontos críticos de \( f \) são \( (1, -2) \) e \( (0,0) \); o primeiro é um ponto de sela e o segundo é um ponto de mínimo. FALSO. Nenhuma das alternativas está correta, pois o ponto crítico encontrado foi \( (-2, 1) \) e não \( (1, -2) \) ou \( (0, 0) \). Portanto, a resposta correta é que não há alternativa correta.