5- exercicios resolvidos do Cálculo de Várias Variáveis e Derivadas Parciais

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<p>Exercícios</p><p>1. Considere as seguintes afirmações sobre derivadas parciais:</p><p>I. Se 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 2𝑥𝑦, então</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑥</p><p>= 2𝑥 e</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑦</p><p>= −2</p><p>II. Se 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥3𝑦2 + 10𝑥2𝑦6, então</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑥</p><p>= 12𝑥2𝑦2 + 20𝑥𝑦6 e</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑦</p><p>= 8𝑥3𝑦 + 60𝑥2𝑦5</p><p>III. Se 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2 + 2𝑦 + 4𝑥3, então</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑥</p><p>= 6𝑥 + 2 + 12𝑥2 e</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑦</p><p>= 2</p><p>É correto o que se afirma em</p><p>I, apenas.</p><p>II, apenas.</p><p>I e III, apenas.</p><p>II e III, apenas.</p><p>I, II e III.</p><p>Gabarito:</p><p>Se 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 2𝑥𝑦, então</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑥</p><p>= 2𝑥 − 2𝑦 e</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑦</p><p>= −2𝑥</p><p>Se 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥3𝑦2 + 10𝑥2𝑦6, então</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑥</p><p>= 12𝑥2𝑦2 + 20𝑥𝑦6 e</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑦</p><p>= 8𝑥3𝑦 + 60𝑥2𝑦5</p><p>Se 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2 + 2𝑦 + 4𝑥3, então</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑥</p><p>= 6𝑥 + 12𝑥2 e</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑦</p><p>= 2</p><p>2. Dada a função 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2𝑦 − 3𝑥𝑦2 + 2𝑦𝑧, é correto afirmar que a derivada parcial de 𝑓</p><p>em relação a 𝑥 é igual a:</p><p>I.</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑥</p><p>= 2𝑥𝑦 − 3𝑦2 + 2</p><p>II.</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑥</p><p>= 2𝑦</p><p>III.</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑥</p><p>= 𝑥2 − 3𝑥</p><p>IV.</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑥</p><p>= 2𝑥 − 3</p><p>V.</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑥</p><p>= 2𝑥𝑦 − 3𝑦2</p><p>I, apenas.</p><p>II, apenas.</p><p>III, apenas.</p><p>IV, apenas.</p><p>V, apenas.</p><p>Gabarito:</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑥</p><p>= 2𝑥𝑦 − 3𝑦2,</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑦</p><p>= 𝑥2 − 6𝑥𝑦 + 2𝑧,</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑧</p><p>= 2𝑦</p><p>3. Considere as afirmações sobre a função de duas variáveis 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦 + 1:</p><p>I. 𝑓(2,1) = 5</p><p>II.</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑥</p><p>= 2𝑥𝑦 𝑒</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑦</p><p>= 𝑥2</p><p>III. 𝑓𝑥𝑥 = 2𝑦 𝑒 𝑓𝑦𝑦 = 0</p><p>É correto o que se afirma em</p><p>I, apenas.</p><p>II, apenas.</p><p>I e III, apenas.</p><p>II e III, apenas.</p><p>I, II e III.</p><p>4. Considere a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦2 + 𝑥𝑦 + 3𝑦 + 2𝑥 + 3. Assinale a alternativa correta:</p><p>I. O único ponto crítico de 𝑓 é (1, −2) e esse é um ponto de sela.</p><p>II. O único ponto crítico de 𝑓 é (1, −2) e esse é um ponto de máximo.</p><p>III. O ponto crítico de 𝑓 é (1, −2) e esse é um ponto de mínimo.</p><p>IV. Os pontos críticos de 𝑓 são (1, −2) e (0,0); o primeiro é um ponto de sela e o segundo é um</p><p>ponto de máximo.</p><p>V. Os pontos críticos de 𝑓 são (1, −2) e (0,0); o primeiro é um ponto de sela e o segundo é um</p><p>ponto de mínimo.</p><p>Gabarito:</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑥</p><p>= 𝑦 + 2</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑦</p><p>= 2𝑦 + 𝑥 + 3</p><p>𝑓𝑥𝑥 = 0 𝑓𝑦𝑦 = 2</p><p>𝑓𝑥𝑦 = 1 𝑓𝑦𝑥 = 1</p><p>𝑦 + 2 = 0 𝑦 = −2</p><p>2𝑦 + 𝑥 + 3 = 0</p><p>Substituindo 𝑦 = −2:</p><p>2 (−2) + 𝑥 + 3 = 0</p><p>−4 + 𝑥 + 3 = 0</p><p>𝑥 = −3 + 4</p><p>𝑥 = 1</p><p>Portanto, o ponto crítico é (1, −2).</p><p>𝐷 = 𝑓𝑥𝑥(1, −2). 𝑓𝑦𝑦(1, −2) − [𝑓𝑥𝑦(1, −2)]2</p><p>𝐷 = 0 . 2 − [1]2</p><p>𝐷 = 0 − 1</p><p>𝐷 = −1 < 0</p><p>Então, (1, −2) é ponto de sela.</p><p>5. Considere a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥2 − 𝑦2 . Sobre os seus valores extremos, assinale a</p><p>alternativa correta:</p><p>I.O único ponto crítico de 𝑓 é (0,0) e esse é um ponto de sela.</p><p>II.O único ponto crítico de 𝑓 é (0,0) e esse é um ponto de máximo.</p><p>III.O ponto crítico de 𝑓 é (0,0) e esse é um ponto de mínimo.</p><p>IV.O único ponto crítico de 𝑓 é (−2, −2) e esse é um ponto de máximo.</p><p>V.O único ponto crítico de 𝑓 é (−2, −2) e esse é um ponto de mínimo.</p><p>Gabarito:</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑥</p><p>= −2𝑥</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑦</p><p>= −2𝑦</p><p>𝑓𝑥𝑥 = −2 𝑓𝑦𝑦 = −2</p><p>𝑓𝑥𝑦 = 0 𝑓𝑦𝑥 = 0</p><p>−2𝑥 = 0 −2𝑦 = 0</p><p>𝑥 = 0 𝑦 = 0</p><p>Portanto, o ponto crítico é (0,0).</p><p>𝐷 = 𝑓𝑥𝑥(1, −2). 𝑓𝑦𝑦(1, −2) − [𝑓𝑥𝑦(1, −2)]2</p><p>𝐷 = −2 . −2 − [0]2</p><p>𝐷 = 4 − 0</p><p>𝐷 = 4 > 0</p><p>𝑓𝑥𝑥 = −2 < 0</p><p>Então, (0,0) é um ponto de máximo.</p><p>6. Considere a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 94𝑥 −</p><p>𝑥2</p><p>10</p><p>+ 80𝑦 −</p><p>𝑦2</p><p>20</p><p>− 20000 . Sobre os seus valores</p><p>extremos, assinale a alternativa correta:</p><p>I. O único ponto crítico de 𝑓 é (470,800) , esse é um ponto de máximo e 𝑓(470,800) =</p><p>34090.</p><p>II. O único ponto crítico de 𝑓 é (470,800) , esse é um ponto de mínimo e 𝑓(470,800) =</p><p>740900.</p><p>III. O único ponto crítico de 𝑓 é (470,800), esse é um ponto de sela e 𝑓(470,800) = 740900.</p><p>IV. O único ponto crítico de 𝑓 é (800,470), esse é um ponto de mínimo e 𝑓(800,470) = 57755.</p><p>V. O único ponto crítico de 𝑓 é (800,470), esse é um ponto de sela e 𝑓(800,470) = 57755.</p><p>Gabarito:</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑥</p><p>= 94 −</p><p>1</p><p>5</p><p>𝑥</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑦</p><p>= 80 −</p><p>1</p><p>10</p><p>𝑦</p><p>𝑓𝑥𝑥 = −</p><p>1</p><p>5</p><p>𝑓𝑦𝑦 = −</p><p>1</p><p>10</p><p>𝑓𝑥𝑦 = 0 𝑓𝑦𝑥 = 0</p><p>94 −</p><p>1</p><p>5</p><p>𝑥 = 0 80 −</p><p>1</p><p>10</p><p>𝑦 = 0</p><p>𝑥 = 94 . 5 𝑦 = 80 . 10</p><p>𝑥 = 470 𝑦 = 800</p><p>Portanto, o ponto crítico é (470,800).</p><p>𝐷 = 𝑓𝑥𝑥(470,800). 𝑓𝑦𝑦(470,800) − [𝑓𝑥𝑦(470,800)]2</p><p>𝐷 = −</p><p>1</p><p>5</p><p>. −</p><p>1</p><p>10</p><p>− [0]2</p><p>𝐷 =</p><p>1</p><p>50</p><p>− 0</p><p>𝐷 =</p><p>1</p><p>50</p><p>> 0</p><p>𝑓𝑥𝑥 = −</p><p>1</p><p>5</p><p>< 0</p><p>Então, (470,800) é um ponto de máximo.</p><p>𝑓(𝑥, 𝑦) = 94𝑥 −</p><p>𝑥2</p><p>10</p><p>+ 80𝑦 −</p><p>𝑦2</p><p>20</p><p>− 20000</p><p>𝑓(470,800) = 94𝑥 −</p><p>𝑥2</p><p>10</p><p>+ 80𝑦 −</p><p>𝑦2</p><p>20</p><p>− 20000</p><p>𝑓(470,800) = 94 . (470) −</p><p>(470)2</p><p>10</p><p>+ 80. (800) −</p><p>(800)2</p><p>20</p><p>− 20000</p><p>𝑓(470,800) = 44180 − 22090 + 64000 − 32000 − 20000</p><p>𝑓(470,800) = 34090</p><p>7. Considere a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 − 2𝑥 − 2𝑦 − 𝑥2 − 𝑦2. Assinale a alternativa correta:</p><p>I. O único ponto crítico de 𝑓 é (2,6) e esse é um ponto de máximo.</p><p>II. O único ponto crítico de 𝑓 é (2,6) e esse é um ponto de mínimo.</p><p>III. O único ponto crítico de 𝑓 é (2,6) e esse é um ponto de sela.</p><p>IV. O único ponto crítico de 𝑓 é (−2, −2) e esse é um ponto de máximo.</p><p>V. O único ponto crítico de 𝑓 é (−2, −2) e esse é um ponto de mínimo.</p><p>Gabarito:</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑥</p><p>= 𝑦 − 2 − 2𝑥</p><p>𝜕𝑓</p><p>𝜕𝑦</p><p>= 𝑥 − 2 − 2𝑦</p><p>𝑓𝑥𝑥 = −2 𝑓𝑦𝑦 = −2</p><p>𝑓𝑥𝑦 = 1 𝑓𝑦𝑥 = 1</p><p>𝑦 − 2 − 2𝑥 = 0 𝑦 − 2 − 2𝑥 = 0</p><p>𝑥 − 2 − 2𝑦 = 0 𝑦 − 2 − 2 (2 + 2𝑦) = 0</p><p>𝑥 = 2 + 2𝑦 𝑦 − 2 − 4 − 4𝑦 = 0</p><p>−3𝑦 − 6 = 0</p><p>𝑦 = −2</p><p>Substituindo o valor de 𝑦:</p><p>𝑥 = 2 + 2𝑦</p><p>𝑥 = 2 + 2 (−2)</p><p>𝑥 = 2 − 4</p><p>𝑥 = −2</p><p>Como o ponto crítico é (−2, −2).</p><p>𝐷 = 𝑓𝑥𝑥(−2, −2). 𝑓𝑦𝑦(−2, −2) − [𝑓𝑥𝑦(−2, −2)]2</p><p>𝐷 = −2 . −2 − [1]2</p><p>𝐷 = 4 − 1</p><p>𝐷 = 3 > 0</p><p>𝑓𝑥𝑥 = −2 < 0</p><p>Então, (−2, −2) é um ponto de máximo.</p><p>8. O gráfico traz o valor em reais (R$) da moeda norte-americana no decorrer dos dias 𝑡.</p><p>A partir dos valores do dólar observados no gráfico acima, considere as afirmações a seguir:</p><p>I. 𝑥 = 4 𝑒 𝑥 = 17 são pontos de máximo local, pois são os maiores valores em suas</p><p>vizinhanças.</p><p>II. O ponto 𝑥 = 17 é um máximo global, pois fornece o maior valor que a função assume em</p><p>todo o intervalo.</p><p>III. Os pontos 𝑥 = 9 𝑒 𝑥 = 23 são pontos de mínimo local, pois são os menores valores em suas</p><p>vizinhanças.</p><p>IV. 𝑥 = 0 é um mínimo global, pois fornece o menor valor que a função assume em todo o</p><p>intervalo.</p><p>V. São intervalos de decrescimento do dólar 0 < 𝑡 < 4; 9 < 𝑡 < 17; 23 < 𝑡 < 28 , pois a</p><p>derivada primeira é menor que zero nestes intervalos.</p><p>VI. São intervalos de crescimento do dólar 4 < 𝑡 < 9; 17 < 𝑡 < 23, pois a derivada primeira é</p><p>maior que zero nestes intervalos.</p><p>É correto o que se afirma em</p><p>I, II e III, apenas.</p><p>I, II, III e IV, apenas.</p><p>I, III, V e VI, apenas.</p><p>II, IV, V e VI, apenas.</p><p>IV, V e VI, apenas.</p><p>Gabarito:</p><p>Máximo local: 𝑥 = 4 𝑒 𝑥 = 17 pois são os maiores valores em suas vizinhanças.</p><p>Máximo global: 𝑥 = 17 pois fornece o maior valor que a função assume em todo o intervalo.</p><p>Mínimo local: 𝑥 = 9 𝑒 𝑥 = 23 pois são os menores valores em suas vizinhanças.</p><p>Mínimo global: 𝑥 = 0 pois fornece o menor valor que a função assume em todo o intervalo.</p><p>São intervalos de crescimento do valor do dólar:</p><p>0 < 𝑡 < 4; 9 < 𝑡 < 17; 23 < 𝑡 < 28</p><p>Nesses intervalos 𝑣′ > 0.</p><p>São intervalos de decrescimento do valor do dólar:</p><p>4 < 𝑡 < 9; 17 < 𝑡 < 23</p><p>Nesses intervalos 𝑣′ < 0.</p><p>9. Para este exercício serão utilizadas as seguintes definições:</p><p>Excedente do consumo (ou ganho total do consumidor) é a diferença entre o que os</p><p>consumidores estão dispostos a pagar por 𝑥∗ unidades do bem e o que eles realmente pagam.</p><p>O excedente de consumo é dado por:</p><p>𝐸𝑐 = ∫ 𝐷(𝑥)𝑑𝑥 − 𝑝∗𝑥∗𝑥</p><p>0</p><p>, onde:</p><p>𝐷 = 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎;</p><p>𝑝∗ = 𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑜 𝑏𝑒𝑚;</p><p>𝑥∗ = 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎.</p><p>Excedente de produção (ou ganho total do produtor) é a diferença entre o que os fornecedores</p><p>realmente recebem por 𝑥∗ unidades do bem e o que eles estariam dispostos a receber. O</p><p>excedente de produção é dado por:</p><p>𝐸𝑝 = 𝑝∗𝑥∗ − ∫ 𝑂(𝑥)𝑑𝑥</p><p>𝑥</p><p>0</p><p>, onde:</p><p>𝑂 = 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑜𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎;</p><p>𝑝∗ = 𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑜 𝑏𝑒𝑚 𝑛𝑜 𝑚𝑒𝑟𝑐𝑎𝑑𝑜;</p><p>𝑥∗ = 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑒𝑚 𝑜𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎.</p><p>As funções de oferta 𝑦1 e demanda 𝑦2 de um certo bem são modeladas por 𝑦1 = 3𝑥2 − 100𝑥 +</p><p>4000 e 𝑦2 = −3𝑥2 + 170𝑥 + 1000 , onde 𝑥 representa quantidade e 𝑦1, 𝑦2 representam</p><p>preços em unidades monetárias/1000. Determine o excedente de consumo no ponto de</p><p>equilíbrio. Para tanto, considere os seguintes pontos de equilíbrio (25; 3,375) e (20; 3,2).</p><p>Considere as afirmações a seguir:</p><p>I.O ganho do consumidor no primeiro ponto de equilíbrio é de 78.040,63 unidades monetárias.</p><p>II.O ganho do consumidor no segundo ponto de equilíbrio é de 53.936,00 unidades monetárias.</p><p>III.O ganho do consumidor no primeiro ponto de equilíbrio é de 62.415,63 unidades monetárias.</p><p>IV.O ganho do consumidor no segundo ponto de equilíbrio é de 46.000,00 unidades monetárias.</p><p>V.O ganho do consumidor no primeiro ponto de equilíbrio é de 62.500,00 unidades monetárias.</p><p>VI.O ganho do consumidor no segundo ponto de equilíbrio é de 45.936,00 unidades monetárias.</p><p>É correto o que se afirma em</p><p>I e II, apenas.</p><p>I, III e IV, apenas.</p><p>II, V e VI, apenas.</p><p>III e VI, apenas.</p><p>V e VI, apenas.</p><p>Lembre-se que, para determinar o ponto de equilíbrio, fazemos 𝑦1 = 𝑦2:</p><p>𝑦1 = 𝑦2</p><p>3𝑥2 − 100𝑥 + 4000 = −3𝑥2 + 170𝑥 + 1000</p><p>6𝑥2 − 270𝑥 + 3000 = 0 ÷ 𝟔</p><p>𝑥2 − 45𝑥 + 500 = 0</p><p>𝑥 =</p><p>−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐</p><p>2𝑎</p><p>𝑥 =</p><p>45 ± √(−45)2 − 4 . 1 . 500</p><p>2 . 1</p><p>𝑥 =</p><p>45 ± √25</p><p>2</p><p>→ 𝑥 =</p><p>45 ± 5</p><p>2</p><p>𝑥′ =</p><p>45+5</p><p>2</p><p>→ 𝑥′ = 25 𝑥′′ =</p><p>45−5</p><p>2</p><p>→ 𝑥′′ = 20</p><p>Para 𝑥1 = 25 , o preço no ponto de equilíbrio é 𝑦1 = 3 (25)2 − 100 (25) + 4000 = 3375.</p><p>Como o preço está em unidades monetárias/1000, tem-se que o ponto de equilíbrio é (25;</p><p>3,375).</p><p>Para 𝑥2 = 20 , o preço no ponto de equilíbrio é 𝑦1 = 3 (20)2 − 100 (20) + 4000 = 3200.</p><p>Como o preço está em unidades monetárias/1000, tem-se que o ponto de equilíbrio é (20; 3,2).</p><p>O excedente de consumo para o primeiro ponto de equilíbrio é:</p><p>𝐸𝑐 = ∫ 𝐷(𝑥)𝑑𝑥 − 𝑝∗𝑥∗</p><p>𝑥</p><p>0</p><p>𝐸𝑐 = ∫ (−3𝑥2 + 170𝑥 + 1000)𝑑𝑥 − (3,375) . (25)</p><p>25</p><p>0</p><p>𝐸𝑐 = [−𝑥3 + 85𝑥2 + 1000𝑥]0</p><p>25 − 84,375</p><p>𝐸𝑐 = −(25)3 + 85 . (25)2 + 1000 . (25) − 84,375</p><p>𝐸𝑐 = 62.415,63</p><p>Logo, o ganho do consumidor no primeiro ponto de equilíbrio é de 62.415,63 unidades</p><p>monetárias.</p><p>O excedente de consumo para o segundo ponto de equilíbrio é</p><p>𝐸𝑐 = ∫ 𝐷(𝑥)𝑑𝑥 − 𝑝∗𝑥∗</p><p>𝑥</p><p>0</p><p>𝐸𝑐 = ∫ (−3𝑥2 + 170𝑥 + 1000)𝑑𝑥 − (3,2) . (20)</p><p>20</p><p>0</p><p>𝐸𝑐 = [−𝑥3 + 85𝑥2 + 1000𝑥]0</p><p>20 − 64</p><p>𝐸𝑐 = −(20)3 + 85 . (20)2 + 1000 . (20) − 64</p><p>𝐸𝑐 = 45.936</p><p>Logo, o ganho do consumidor no segundo ponto de equilíbrio é de 45.936 unidades monetárias.</p><p>10. A quantidade demandada de um produto 𝑥 (em milhares) está relacionada ao preço unitário</p><p>por 𝑦1 = −0,2𝑥2 + 80. A quantidade de produto que a indústria coloca no mercado está</p><p>relacionada ao preço unitário por 𝑦2 = 0,1𝑥2 + 𝑥 + 40. Determine o excedente de consumo</p><p>e o excedente de produção no ponto de equilíbrio. Para tanto, considere o seguinte ponto</p><p>de equilíbrio (10, 60). Considere as afirmações a seguir:</p><p>I. O ganho do consumidor no ponto de equilíbrio é de 199,97 unidades monetárias.</p><p>II. O ganho do produtor no ponto de equilíbrio é de 716,67 unidades monetárias.</p><p>III. O ganho do consumidor no ponto de equilíbrio é de 733,33 unidades monetárias.</p><p>IV. O ganho do produtor no ponto de equilíbrio é de 600,00 unidades monetárias.</p><p>V. O ganho do consumidor no ponto de equilíbrio é de 133,33 unidades monetárias.</p><p>VI. O ganho do produtor no ponto de equilíbrio é de 116,67 unidades monetárias.</p><p>É correto o que se afirma em</p><p>I e II, apenas.</p><p>I, III e IV, apenas.</p><p>II, V e VI, apenas.</p><p>III e IV, apenas.</p><p>V e VI, apenas.</p><p>As afirmações I e II são verdadeiras.</p><p>As afirmações I e IV são verdadeiras.</p><p>As afirmações III e VI são verdadeiras.</p><p>As afirmações IV e V são verdadeiras.</p><p>As afirmações V e VI são verdadeiras.</p><p>Para determinar o ponto de equilíbrio 𝑦1 = 𝑦2, logo:</p><p>−0,2𝑥2 + 80 = 0,1𝑥2 + 𝑥 + 40</p><p>−0,3𝑥2 − 𝑥 + 40 = 0</p><p>𝑥 =</p><p>−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐</p><p>2𝑎</p><p>𝑥 =</p><p>1 ± √(−1)2 − 4 . (−0,3) . 40</p><p>2 . (−0,3)</p><p>𝑥 =</p><p>1 ± √49</p><p>−0,6</p><p>→ 𝑥 =</p><p>1 ± 7</p><p>−0,6</p><p>𝑥′ =</p><p>1+7</p><p>−0,6</p><p>→ 𝑥′ = −13,3 𝑥′′ =</p><p>1−7</p><p>−0,6</p><p>→ 𝑥′′ = 10</p><p>O valor 𝑥′ = −13,3 não serve, pois não existe quantidade demandada negativa.</p><p>O preço no ponto de equilíbrio é 𝑦1 = −0,2𝑥2 + 80 → −0,2 . (10)2 + 80 = 60.</p><p>O excedente de consumo para o ponto de equilíbrio é</p><p>𝐸𝑐 = ∫ 𝐷(𝑥)𝑑𝑥 − 𝑝∗𝑥∗</p><p>𝑥</p><p>0</p><p>𝐸𝑐 = ∫ (−0,2𝑥2 + 80)𝑑𝑥 − (60) . (10)</p><p>10</p><p>0</p><p>𝐸𝑐 = [−</p><p>0,2𝑥3</p><p>3</p><p>+ 80𝑥]</p><p>0</p><p>10</p><p>− 600</p><p>𝐸𝑐 = −</p><p>0,2 . (10)3</p><p>3</p><p>+ 80 . (10) − 600</p><p>𝐸𝑐 = 133,33</p><p>Logo, o ganho do consumidor no ponto de equilíbrio é de 133,33 unidades monetárias.</p><p>O excedente de produção para o ponto de equilíbrio é</p><p>𝐸𝑝 = 𝑝∗𝑥∗ − ∫ 𝑂(𝑥)𝑑𝑥</p><p>𝑥</p><p>0</p><p>𝐸𝑝 = (60) . (10) − ∫ (0,1𝑥2 + 𝑥 + 40)𝑑𝑥</p><p>10</p><p>0</p><p>𝐸𝑝 = 600 − [</p><p>0,1𝑥3</p><p>3</p><p>+</p><p>𝑥2</p><p>2</p><p>+ 40𝑥]</p><p>0</p><p>10</p><p>𝐸𝑝 = 600 − (</p><p>0,1 . (10)3</p><p>3</p><p>+</p><p>(10)2</p><p>2</p><p>+ 40 . (10))</p><p>𝐸𝑝 = 116,67</p><p>Logo, o ganho do produtor no ponto de equilíbrio é de 116,67 unidades monetárias.</p>