Para determinar as coordenadas do vetor \(\mathbf{w} = \mathbf{e_1} + \mathbf{e_2} + \mathbf{e_3}\) na base \(F = \{\mathbf{f_1}, \mathbf{f_2}, \mathbf{f_3}\}\), precisamos expressar \(\mathbf{w}\) em termos dos vetores da base \(F\). Dadas as relações: - \(\mathbf{f_1} = 2\mathbf{e_1} - \mathbf{e_3}\) - \(\mathbf{f_2} = \mathbf{e_2} + 2\mathbf{e_3}\) - \(\mathbf{f_3} = 7\mathbf{e_3}\) Vamos resolver isso passo a passo: 1. Expressar \(\mathbf{e_1}\), \(\mathbf{e_2}\) e \(\mathbf{e_3}\) em termos de \(\mathbf{f_1}\), \(\mathbf{f_2}\) e \(\mathbf{f_3}\): - Da primeira equação, temos: \[ \mathbf{e_1} = \frac{1}{2}(\mathbf{f_1} + \mathbf{e_3}) \] - Da segunda equação, isolamos \(\mathbf{e_2}\): \[ \mathbf{e_2} = \mathbf{f_2} - 2\mathbf{e_3} \] - Da terceira equação, temos: \[ \mathbf{e_3} = \frac{1}{7}\mathbf{f_3} \] 2. Substituir \(\mathbf{e_3}\) na expressão de \(\mathbf{e_1}\) e \(\mathbf{e_2}\): Substituindo \(\mathbf{e_3}\) na equação de \(\mathbf{e_1}\): \[ \mathbf{e_1} = \frac{1}{2}(\mathbf{f_1} + \frac{1}{7}\mathbf{f_3}) \] E na equação de \(\mathbf{e_2}\): \[ \mathbf{e_2} = \mathbf{f_2} - 2 \cdot \frac{1}{7}\mathbf{f_3} = \mathbf{f_2} - \frac{2}{7}\mathbf{f_3} \] 3. Substituir \(\mathbf{e_1}\), \(\mathbf{e_2}\) e \(\mathbf{e_3}\) na expressão de \(\mathbf{w}\): \[ \mathbf{w} = \left(\frac{1}{2}(\mathbf{f_1} + \frac{1}{7}\mathbf{f_3})\right) + \left(\mathbf{f_2} - \frac{2}{7}\mathbf{f_3}\right) + \frac{1}{7}\mathbf{f_3} \] Simplificando: \[ \mathbf{w} = \frac{1}{2}\mathbf{f_1} + \mathbf{f_2} + \left(\frac{1}{7} - \frac{2}{7} + \frac{1}{7}\right)\mathbf{f_3} \] \[ \mathbf{w} = \frac{1}{2}\mathbf{f_1} + \mathbf{f_2} + 0\mathbf{f_3} \] 4. As coordenadas de \(\mathbf{w}\) na base \(F\) são: \[ \left(\frac{1}{2}, 1, 0\right) \] Portanto, a resposta correta é a sequência de coordenadas \(\left(\frac{1}{2}, 1, 0\right)\) na base \(F\).